1.4 空间向量的应用-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时10　用空间向量研究距离、夹角问题(2)  教学目标 1. 理解直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角与空间向量的关系. 2. 会用空间向量的方法求直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角. 3. 体会通过建立空间直角坐标系将空间的三种角的求解转化为空间向量的坐标运算的思想方法. 学习目标 课程目标 学科核心素养 学会用空间向量的方法求直线与直线所成的角 通过用空间向量的方法研究直线与直线所成的角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 学会用空间向量的方法求直线与平面所成的角 通过用空间向量的方法研究直线与平面所成的角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 学会用空间向量的方法求平面与平面的夹角 通过用空间向量的方法研究平面与平面的夹角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 情景导学 　图1 日晷(图1)是我国古代用来测定时间的仪器,它是利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为),地面上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成的角,点处的水平面是指过点且与垂直的平面.在点处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点处的纬度为北纬40°,则晷针与点处的水平面所成角为多少?在空间中,常见的角有哪些?怎样求出空间的这些角呢? 【提示】 空间中的常见的角包括两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面所成的角这三种.求这些角,可以用传统的方法,根据这些角的定义求,也可以借助空间向量,运用空间向量的方法来求.下面我们就来探究怎样运用空间向量的方法求出空间的角. 设计意图　通过学生熟悉的生活实际中的问题创设情境,引导学生用数学的眼光去观察、分析和联想,帮助学生回顾空间角的概念,并提出运用向量解决空间角的问题,同时渗透空间问题“代数化”的基本思想,激发学生的学习兴趣和学习热情,为运用空间向量的方法探究空间中三种角的求法营造良好的氛围. 初探新知 任务1　用空间向量的方法研究两条异面直线所成的角 活动1　通过直线的方向向量及向量夹角公式求两条异面直线所成的角  问题1　在立体几何中是怎样定义两条异面直线所成的角的?两条异面直线所成的角的范围是什么? 【提示】 已知两条异面直线,经过空间任一点分别作直线,把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角.两条异面直线所成的角的范围是. 问题2　如图2,已知两条异面直线的方向向量为,直线的方向向量为,两条异面直线和所成的角与其方向向量有何关系呢? 图2 【提示】 根据两条异面直线所成的角的定义知,直线和所成的角等价于直线的方向向量与直线的方向向量的夹角或其补角. 问题3　如何用空间向量法求两条异面直线所成的角的大小呢? 【提示】 设异面直线和所成的角为,则可得到. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生思考两条异面直线所成的角如何用空间怎样表示的问题,使学生在进一步理解异面直线所成的角的定义的基础上,明确两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量的夹角之间的关系,为运用空间向量的方法求空间中两条异面直线所成的角奠定基础. 任务2　探究用空间向量的方法研究直线与平面所成的角 活动2　通过直线的方向向量和平面的法向量及夹角公式求直线与平面所成的角  问题4　在立体几何中是怎样定义直线与平面所成的角的?直线和平面所成的角的范围又是什么呢? 【提示】 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是.直线和平面所成的角的范围是. 问题5　你能用空间向量的方法求直线与平面所成的角吗?如何求呢? 【提示】 设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图3,直线与平面相交于点,设直线与平面所成的角为,又直线的方向向量为,平面的法向量为,则有. 图3 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生分析讨论用空间向量表示空间中直线与平面所成的角的方法,使学生正确地认识和理解直线直线与平面所成的角跟直线直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,为运用空间向量的方法求直线与平面所成的角做好铺垫,奠定基础. 任务3　探究用空间向量的方法求两个平面的夹角  活动3　通过平面的法向量及向量的夹角公式求平面与平面的夹角  问题6　在立体几何中是怎样定义平面与平面所成的角的?平面与平面所成的角的范围是什么? 【提示】 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.用二面角的平面角大小度量平面与平面所成的角.平面与平面所成的角的范围是. 问题7