1.2 空间向量基本定理-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

　1.2空间向量基本定理 课时3　空间向量基本定理  教学目标 1. 了解空间向量基本定理及其意义,理解空间向量基本定理是立体几何问题代数化的基础. 2. 理解空间向量的基底、基向量、单位正交基底和正交分解等概念,了解正交分解的意义. 3. 会选择适当的基底表示空间任一向量,能正确运用空间向量基本定理解决立体几何问题. 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解空间向量基本定理的意义,掌握空间向量基本定理的本质 通过空间向量基本定理的探究过程,培养逻辑推理、数学运算素养 理解基底、基向量和单位正交基底等概念,掌握空间向量正交分解的方法 通过对空间向量正交分解的学习,培养数学抽象、逻辑推理素养 会运用空间向量基本定理解决一些简单的立体几何问题 通过应用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题,培养数学运算、逻辑推理素养 情景导学 在平面向量中,我们学习了平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,,使.其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.生活需要向三维空间发展(播放地面的坦克瞄准空中的飞机的画面).由之前的学习,我们把平面向量的线性运算推广到了空间,那么平面向量基本定理能推广到空间吗?如果能,我们可以得到怎样的结论呢? 【提示】 能.推广后的结论是:在空间,如果三个向量,,不共面,那么对空间任一向量,存在唯一的有序实数组,使得.其中,叫做表示空间内所有向量的一个基底.这就是我们所要研究的问题. 设计意图　数学的结论一般都是比较抽象的,而对这些抽象结论的理解往往需要一些具体的、熟悉的背景来支撑.这里通过生活实例创设问题情境,让学生产生感性认识,体会研究空间向量分解的必要性,在熟悉的情境中自然而然地引出要研究的问题,激发学生学习的兴趣,为学习新知营造出良好的氛围. 初探新知 任务1　探究空间向量的分解及空间向量基本定理  活动1　通过具体实例探究空间问题中向量的分解  问题1　如图1,在正方体中,是的中点,怎样用向量,,表示向量? 图1 【提示】 因为是的中点,所以,则. 问题2　如图2,在斜三棱柱中,是和的交点,怎样用向量,,表示向量? 图2 【提示】 因为是和的交点,所以是的中点,所以(),又在平面中,,所以(). 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生以熟悉的空间图形为载体,运用类比平面向量的分解的研究方法,借助空间向量的线性运算探究空间向量的分解,形成对空间向量的分解的正确认识和初步理解,为完成平面向量基本定理到空间向量基本定理的推广做好铺垫. 活动2　探究空间向量基本定理  问题3　如图3,设是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点,对于任意一个空间向量,能否用表示?如何表示? 图3 【提示】 设为在所确定的平面上的投影向量,则,又向量,共线,所以存在唯一的实数,使得,从而,而在所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得.从而.因此,如果是空间三个两两垂直的向量,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得.我们称分别为向量在上的分向量. 问题4　在空间,如果用三个不共面的向量代替问题3中的三个两两垂直的向量你能得出怎样的结论? 【提示】 引导学生交流和讨论,得出如下结论:如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得. 问题5　平面向量基本定理是什么?你能不能将平面向量基本定理推广到空间向量呢? 【提示】 平面向量基本定理是:如果两个向量不共线,那么对任意一个平面向量,存在唯一的有序实数对,使得.类似于平面向量基本定理,我们有空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,让学生理解空间向量的分解是通过两次平面向量的正交分解得到的,空间向量的正交分解与平面向量的正交分解是类似的.在此基础上,类比平面向量基本定理,得出空间向量基本定理,使学生进一步体会类比思想在空间向量的学习中的意义和价值. 任务2　探究空间向量的基底及正交分解 活动3　认识和理解空间向量的基底和正交分解的相关概念  问题6　在平面向量基本定理中,表示平面上任意向量的一组不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.类似地,在空间,表示空间任意向量的基底是什么? 【提示】 如果三个向量不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{|},这个集合可看作由向量生成的,我们把叫做空间的一个基底,都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 问题7　空间向量的单位正交基底是什么?什么是正交分解? 【提示】 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常