2.2基本不等式（7题型）-2023-2024学年高一数学同步教学课件+练习（人教A版2019必修第一册）

2.2基本不等式 题型汇总 题型1：基本不等式的正用和反用 例1. （1）如果x>0，求的最小值？ （2） 如果x<0，求的最大值？ （3） 如果x>1，求的最小值？ 【变式1-1】已知，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值0 B．有最小值为0 C．有最大值为－4 D．有最小值为－4 【变式1-2】已知a，b，，求证：． 【变式1-3】已知正数a，b满足，则的最大值为（    ）． A． B．1 C．2 D．4 【变式1-4】若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式1-5】已知正实数满足，则的最大值为 ；的最大值为 . 题型2：“1”的代换型 例2.已知，，，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．6 【变式2-1】已知点在直线的图象上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，都是正数，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【变式2-3】已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D． 【变式2-4】设实数、满足，且.则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】已知，，，求证： (1)； (2). 题型3：“和”与“积”的互消型 例3.已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值. 【变式3-1】（1）设，，且，求的取值范围； （2）设，若，求的最大值． 【变式3-2】若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝9，则x＋2y的最小值为 . 题型4：构造型 例4.已知，，且，则的最小值为 . 【变式4-1】（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． 【变式4-2】（1）已知，求的最大值． （2）已知且，求的最小值． 【变式4-3】已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 题型5：多次使用基本不等式型 例5已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．6 【变式5-1】已知正实数a，b，c，d满足，则最小值为（    ） A．4 B． C．9 D．10 【变式5-2】已知、、都是正数，求证：. 【变式5-3】已知实数，则的最小值是（     ） A．1 B． C．2 D． 题型6：用基本不等式证明不等式 例6已知，，，且． (1)证明：；(2)证明：． 【变式6-1】已知a，b，c均为正实数，求证： (1)； (2)． 【变式6-2】已知为正数，且满足.证明： （1）；（2）. 【变式6-3】已知，则的最小值为 . 【变式6-4】求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 题型7：基本不等式实际应用 例7用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式7-1】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值. 【变式7-2】已知a、b、c、d为正实数，请利用平均值不等式证明（1），并指出等号成立的条件，然后利用（1）证明（2），并解决（3）中的实际问题． (1)求证：“． (2)利用（1）中的结论证明：． (3)如图，将边长为1的正方形纸片的四个角都沿实线剪去一个边长为x的小正方形，再将四个部分都折起，做成一个无盖长方体盒子．求该长方体盒子的容积V的最大值，以及取到最大值时实数x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式 题型汇总 题型1：基本不等式的正用和反用 例1. （1）如果x>0，求的最小值？ （2） 如果x<0，求的最大值？ （3） 如果x>1，求的最小值？ 解：因为x>0，>0，所以≥2=2， 当且仅当x=1/x，即x^2=1，x=1时，等号成立 因此，所求最小值为2. （2）原多项式可变为x＋＝－ 故有－x＋≥2＝2， 所以－－2， 当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立. （3）因为x>1，故有x－1>0 所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5， 当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立. 【变式