3.1.1椭圆及其标准方程（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆及其标准方程导学案 学习目标 1.根据创设的情景，理解椭圆的定义. 2.理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力. 3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 重点难点 1.重点：①理解椭圆的定义及椭圆的标准方程． ②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 2.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用. 课前预习 自主梳理 知识梳理 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距． 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 知识梳理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1( ,0)，F2( ,0) F1(0， )，F2(0， ) a，b，c的关系 b2＝ 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　　) 2.已知椭圆的左右焦点为，，是椭圆上的点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.若椭圆 上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.“方程表示椭圆”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．且 5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么， 问题1：椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ 环节二 观察分析，感知概念 问题2:取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，（图3.1-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 问题3：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 问题4：应该如何完善刚才对椭圆的定义？ 我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focusdistance），焦距的一半称为半焦距．由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆． 环节三 抽象概括，形成概念 下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程． 问题5：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图3.1-2所示． 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为，．根据椭圆的定义，设点与焦点，的距离的和等于． 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 ． 设为能为问题研究带来方便． 因为，． 所以． ① 为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得 ② 对方程②两边平方，得 整理，得 ③ 对方程③两边平方，得 整理，得 ④ 将方程④两边同除以，得 ⑤ 由椭圆的定义可知，，即，所以． 问题6：观察图3.1-3，你能从中找出表示，，的线段吗？ 由图3.1-3可知，，，．令，那么