3.1.1椭圆及其标准方程（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆及其标准方程（教学设计） 1、 课时教学内容 椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。 2、 课时教学目标 1.根据创设的情景，理解椭圆的定义. 2.理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力. 3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 3、 教学重点、难点 1.重点：①理解椭圆的定义及椭圆的标准方程． ②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 2.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么， 问题1：椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ 环节二 观察分析，感知概念 问题2:取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，（图3.1-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 问题3：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 问题4：应该如何完善刚才对椭圆的定义？ 我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focusdistance），焦距的一半称为半焦距．由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆． 环节三 抽象概括，形成概念 下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程． 问题5：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图3.1-2所示． 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为，．根据椭圆的定义，设点与焦点，的距离的和等于． 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 ． 设为能为问题研究带来方便． 因为，． 所以． ① 为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得 ② 对方程②两边平方，得 整理，得 ③ 对方程③两边平方，得 整理，得 ④ 将方程④两边同除以，得 ⑤ 由椭圆的定义可知，，即，所以． 问题6：观察图3.1-3，你能从中找出表示，，的线段吗？ 由图3.1-3可知，，，．令，那么方程⑤就是 ⑥ 由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形．这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点，的距离之和为，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上．我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程．它表示焦点在轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里． 环节四 辨析理解 深化概念 问题7：如图3.1-4，如果焦点，在轴上，且，的坐标分别为，，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 容易知道，此时椭圆的方程是． 这个方程也是椭圆的标准方程． 例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程． 解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知， 所以．．所以，所求椭圆的标准方程为． 你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点． 解法二：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知，所以，所以，将代入，得 ，整理得，，解得，， 所以，所求椭圆的标准方程为． 例2如图3.1-5，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么?为什么? 分析：点在圆上运动，点的运动引起点运动．我们可以由为线段的中点得到点与点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程． 解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，由点是线段的中点，得，． 因为点在圆上，所以 ① 把，代入方程①，得 ， 即 ． 所以点的轨迹是椭圆． 寻求点的坐标中与之间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法．利用信息技术，可以更方便地探究点的轨迹的形状． 思考