专题17 相似三角形的性质-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题17相似三角形的性质 【知识梳理】 知识点01相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 【点石成金】 要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 【点石成金】相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【题型探究】 题型一用相似的性质求线段 1.在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高. 【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F， ∵AD,CE分别为BC,AB边上的高， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴Rt△ADB∽Rt△CEB, ∴, 且∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA, ∴, ∴, 又∵DE=2， ∴AC=6， ∴ 2．如图，在中，，，，，，，求： （1）与的度数； （2）的长． 【答案】（1）∠AED=∠C=75°；（2） 【分析】 （1）证明△AED∽△ACB，可得结果； （2）利用△AED∽△ACB，得到比例式，即可解答． 【详解】 解：（1）∵∠A=65°，∠B=40°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=75°， ∵∠ADE=∠B，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB， ∴∠AED=∠C=75°， （2）由（1）知，△AED∽△ACB， ∴， ∴， ∴BC=． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质．本题属于中档题目，能够找到相似的条件即可． 3．如图，与相交于点E，，，，求的长． 【答案】 【分析】 通过证明△BCE∽△ADE，得到，从而求出DE，可得CD． 【详解】 解：∵AD∥BC， ∴△BCE∽△ADE， ∴， 又∵CE=2，， ∴， ∴DE=， ∴CD=CE+DE=2+=． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 题型二用相似求面积 4．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且． （1）求证：△CDE∽△ACB； （2）当DA∶EA＝时，求△CDE与△ABC的面积比． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DC＝DA＝DB，所以∠DCA＝∠A，根据已知条件和三角形外角定义即可得∠DEC＝∠B，进而可得结论； （2）令EA＝k，DA＝，CE＝x，根据△CDE∽△ABC，对应边成比例可得x＝3k，进而根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论． 【详解】 （1）∵CD是直角△ABC斜边上的中线， ∴DC＝DA＝DB， ∴∠DCA＝∠A． 在△ADE中，∠DEC＝∠A＋∠ADE． 又∠ADE＝∠B－∠A，即∠B＝∠A＋∠ADE， ∴∠DEC＝∠B． ∴△CDE∽△ACB． （2）令EA＝k，DA＝，CE＝x． 由△CDE∽△ACB， 得，即， 解得，（舍）． 所以． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 5．如图，在中，在上，，． （1）求证：∽； （2）若，求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】 （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解． 【详解】 （1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型三用相似性质证明 6．如图，已知，是的两条中线，P是它们的交点．求证：． 【答案】见解析 【分析】 连接，是中位线，利用中位线的性质结合三角形相似即可求解． 【详解】 解：证明：连接，如图： ，是的两条中线． 、是AB、AC的中点． 且． ． ． ． 【点睛】 本题考查三角形中位线的性质，三角形相似的判定和性质，关键在于找到中位线和三角形相似．本题的交点P还是三角形的重心，三角形的重心将中线分的线段比是2：1． 7．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，． 求证：（1）四边形ABCD为矩形； （2）BE•DQ＝FQ•PE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）通过证明△ABF∽△EPF，可得结论； （2）通过证明△DPQ∽△FC