专题16 利用相似三角形测高-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题16利用相似三角形测高 【知识梳理】 知识点01相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 【点石成金】 测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 【点石成金】　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【题型探究】 1．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米 【答案】2.4 【分析】 过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H， 则DG∥CH， ∴△ODG∽△OCH， ∴， ∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC， ∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m， ∴OC=0.5m， ∴， ∴DG=1.8m， ∵OE=0.6m， ∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 2.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度． 【点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的. 【解析】(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°. ∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE . (2)由(1)得△ABC∽△ADE, ∴. ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m， ∴. ∴DE=16m, 即古塔的高度为16m. 【总结】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定. 3．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【分析】 利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：这棵树的高度为． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键． 4．有点光源S在平面镜上方，若在P点初看到点光源的反射光线，并测得AB=10cm，BC=20cm.PC⊥AC,且PC=24cm,试求点光源S到平面镜的距离即SA的长度． 【答案】12cm 【解析】 试题分析：先根据反射的性质得到△ABS∽△CBP，再根据相似三角形的性质即可求得结果. 由题意得∠ABS=∠CBP，∠SAB=∠PCB=90° ∴△ABS∽△CBP ∴ 即 解得 考点：相似三角形的判定与性质 点评：本题把物理知识与数学知识结合应用，体现了学科渗透的特点，很有新意，难度不大. 【随堂演练】 1．小华同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影长为米，与他邻近的一棵树的影长为米，则这棵树的高为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　） A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米 4．一斜坡长米，它的高为米，将重物从斜坡起点推到坡上米处停下，停下地点的高度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长2.0m，小红比小明矮