专题15 相似三角形判定定理的证明-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题15 相似三角形判定定理的证明 【知识梳理】 知识点01两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′D′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B，∠AED=∠C, 过点D作AC的平行线，交BC与点F,则 ∴ ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 【点石成金】 证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法. 知识点02两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则 ∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(两个分别相等的两个三角形相似). ∴. ∵ ,AD=A′B′, ∴ ∴ ∴AE=A′C′ 而∠A=∠A′ ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 【点石成金】 利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 知识点03三边成比例的两个三角形相似 已知：在在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, . 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AD=A′B′,连接DE. ∵，AD=A′B′,AE=A′C′, ∴ 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ 又，AD= A′B′, ∴ ∴ ∴DE=B′C′, ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 【题型探究】 题型一两组角对应相等 1.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD． 【点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD． 【解析】 证明：∵HD⊥AB于D， ∴∠ADH=90°， ∴∠A+∠AHD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠E+∠AHD=90°， ∴∠A=∠E， ∵∠ADH=∠ACB=90°， ∴△AHD∽△EBD． 【总结】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 2.如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB； （2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 【答案】（1）详见解析；（2）6． 【分析】 （1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB． （2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案． 【详解】 （1）证明：∵△PCD为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°． ∴∠ACP＝∠PDB＝120°． ∵∠APB＝120°， ∴∠A+∠B＝60°． ∵∠PDB＝120°， ∴∠DPB+∠B＝60°． ∴∠A＝∠DPB． ∴△ACP∽△PDB． （2）解：由（1）得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC•BD． ∵AC＝4，BD＝9， ∴CD＝6． 【点睛】 此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键. 题型二两边对应成比例夹角相等 3．如图，点是上的一点且，，求证：． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】 由EG∥AD，根据平行线的性质和相似三角形的判定得到∠BGE=∠BDA，△BGE∽△BDA，则，同理可得∠BGF=∠BDC，，所以∠FGE=∠CDA，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似即可得到结论． 【详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形