专题18 图形的位似-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题18图形的位似 【知识梳理】 知识点01位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 【点石成金】 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点. 【点石成金】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 知识点02坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 【点石成金】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k. 【题型探究】 1.如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A'B'C'，则点P在A'C'上的对应点P'的坐标为_____． 【答案】（4，3）． 【分析】 根据以原点O为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】 ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A'B'C'，点P（8，6）， ∴点P在A'C'上的对应点P'的坐标为（8×，6×），即（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【点睛】 本题考查了位似的性质，熟知其性质是解题的关键． 2.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，＝，则S四边形EFGH÷S四边形ABCD＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答． 【详解】 ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，＝ ∴＝＝ 则＝＝ 故选：B 【点睛】 本题考查了位似的概念、相似多边形的性质，注意：根据性质，面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比，也不是等于的平方． 3．如图，在直角坐标系中，边长为1的单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点） （1）在给定的图形范围内，以A为位似中心，将放大2倍，得到； （2）以为中心将顺时针旋转90°，得到，并直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，10 【分析】 （1）延长AC到C1，使得AC1=2AC，延长AB到B1，使得AB1=2AB，连接B1C1即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B1的对应点A1，B2即可．△AC1A1是等腰直角三角形，求出直角边，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：（1）如图，△AB1C1即为所求作． （2）如图，△A1B2C1即为所求作， AC1=， △AA1C1的面积=×2×2=10． 【点睛】 本题考查作图-位似变换，旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【随堂演练】 1．1. 下列说法不正确的是 （ ） A．位似图形一定是相似图形 B．相似图形不一定是位似图形 C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 2．下列说法错误的是（ ） A．位似图形一定是相似图形； B．相似图形一定是位似图形； C．两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间； D．若五边形ABCDE与五边形A＇B＇C＇D＇E＇位似，则其中△ABC与△A＇B＇C＇也是位似的，且位似比相等． 3．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ） A．8 B．9 C．10 D．15 4．如图，和是位似三角形，位似中心为点，，则和的位似比为（ ） A． B． C． D． 5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若，且四边形ABCD的周长为4，