专题07基本不等式（3个知识点3个拓展2个突破6种题型2个易错点1种高考考法）-【倍速学习法】2023-2024 学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

专题07基本不等式（3个知识点3个拓展2个突破6种题型2个易错点1种高考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.几个重要的不等式 知识点2.利用基本不等式求最值 知识点3.几个著名的不等式 拓展1.利用基本不等式求解最值、范围问题 拓展2.掌握基本不等式求最值时的一些技巧 拓展3.多次应用基本不等式求最值时等号同时成立的条件 突破1.用基本不等式解决实际应用问题 突破2.应用基本不等式无法完成的最值问题的解题策略 【方法二】 实例探索法 题型1.基本不等式的理解 题型2.利用基本不等式比较大小 题型3.利用基本不等式求最值之无条件求最值 题型4.利用基本不等式求最值之有条件求最值 题型5.利用基本不等式求解实际应用题 题型6.利用基本不等式求解恒成立问题 【方法三】差异对比法 易错点1.忽略等号成立的条件而致错 易错点2.多次应用基本不等式而致错 【方法四】 仿真实战法 考法. 基本不等式 【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.几个重要的不等式 1．重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立 2．基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数． (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 基本不等式可变形为. 知识点2.利用基本不等式求最值 (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 知识点3.几个著名的不等式 （1）平均不等式：或 叫做的平方平均数，叫做的算术平均数，叫做的几何平均数，叫做的调和平均数.即两个正数的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数． 拓展1.利用基本不等式求解最值、范围问题 基本不等式又叫均值不等式，应用时，要注意构造满足基本不等式的条件，常用的解题技巧是合理拆分项或配凑因式，目的在千满足”和为定值或积为定值". 在应用时必须注意保证”一正、二定、三相等". 一要正：各项必须为正数； 二定值：必须满足”和为定值”或“积为定值＂，要凑出“和为定值”或“积为定值＂的式子结构，否则求最值就会出错； 三相等：要保证等号能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值． 【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值． 拓展2.掌握基本不等式求最值时的一些技巧 应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、"1 "的整体代入、消元化归部分分式等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果． 方法1：配凑法 【例2】已知a，b，c均为正实数，求证：； 方法2 : “1”的整体带入 【例3】　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. 【变式】若正实数x，y满足，求的最小值． 方法3：消元法 【例4】已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7. 拓展3.多次应用基本不等式求最值时等号同时成立的条件 多次应用基本不等式求最值时，一定要求出同时取等号的变量的值，只有保证每次取等号的条件相同，即等号步步传递，才能求得最后的最大（小）值． 若多次不能同时取等号，此时可应用整体代入、恒等变换等技巧，凑出定值，再应用基本不等式求解 【例5】（2023·陕西西安·高二西安中学校考期中）均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：. (1)证明不等式. (2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（个数的平方平均数为） 突破1.用基本不等式解决实际应用问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案． 【例6】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费