专题06等式性质与不等式性质（1个知识点3个拓展4种题型1个易错点）-【倍速学习法】2023-2024 学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

专题06等式性质与不等式性质（1个知识点3个拓展4种题型1个易错点） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：不等式的基本性质 拓展一：真分数、假分数的性质 拓展二：比较大小的方法 拓展三：利用不等式的性质求取值范围 【方法二】 实例探索法 题型1：不等关系的建立 题型2：不等式的性质 题型3：利用不等式的性质比较大小 题型4：利用不等式的性质求取值范围 【方法三】 差异对比法 易错点：误用不等式的性质而致错 【方法四】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 【例1】已知a＞b＞0，d＜c＜0，用不等式性质证明：． 拓展一：真分数、假分数的性质 【例2】设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【变式】请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）． 拓展二：比较大小的方法 比较两实数大小基本方法: 一、差值比较原理：设a、b∈R，则a＞b⇔a－b＞0， a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔ a－b<0. 二、商值比较原理：设a、b∈，则＞1⇔a＞b， ＝1⇔ a＝b， <1⇔a<b. 三、介值比较法 介值比较法的理论依据是： 若 a > b , b > c , 则 a > c, 其中 b 是 a 与 c 的中介值． 介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值 四、平方法 平方法的一般步骤：对 两式先平方，再比较大小． 两个实数大小比较的一般步骤 ①作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小. 注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性． 【例3】已知a，b，c满足：a、b、c∈R+，a2+b2＝c2，当n∈N，n＞2时，比较cn与an+bn的大小． 拓展三：利用不等式的性质求取值范围 利用不等式的性质求取值范围的一般思路： 借助性质 ，转化为同向不等式相加进行解答； 借 助所给条件整体使用，切不可随意拆分所 给条件； 结合不等式的传递性进行求解 【例4】已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求下列范围. (1)x＋y; (2)x－3y; (3)． 【方法二】实例探索法 题型1：不等关系的建立 不等关系常用不等式来表示． 【例1】京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． 【变式1】用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 【变式2】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm. （1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系; （2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系. 【例2】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 【变式1】甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？ 【变式2】商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ 【变式3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7