专题 与二次函数有关的线段、周长、面积的最值问题-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 专题 与二次函数有关的线段、周长、面积的最值问题 题型一 二次函数中求线段的最值 1．如图，已知抛物线yx2x+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，且抛物线经过点（2，2）． （1）求此抛物线的解析式及A，B两点坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH的值最小，并求出点H的坐标； 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； 3．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，DE∥y轴交BC于点E． （1）若DE＝2，求点D的坐标； （2）求DE的最大值． 4．（2022秋•蜀山区校级期末）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段PE的最大值； （3）当CP＝CE时，求点P的坐标． 题型二 二次函数中求线段和的最值 1．（2023•东明县二模）如图，抛物线过点A（3，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值． 2．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标； （3）抛物线上是否存在一点Q（Q与B不重合），使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线的顶点（0，1）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，直线y＝kx+k交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与4的大小关系． （3）如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM+ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由． 4．（2022秋•昭阳区期中）如图，直线y＝3x+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，3），过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PB最小，求出点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 二次函数中求线段差的最值 1．（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． ①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标； ②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线ybx+c的对称轴是直线x与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，请你求出点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022秋•邳州市期中）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限，当△OAB的面积为10时． ①求B的坐标； ②点P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝1． （1）求a，b的值，并根据图象写出y＞0时x的取值范围； （2）把点A向上平移m个单位得点A1．若点A1向右平移n个单位，将与抛物线上的点A2重合；若点A1向右平移（n+3）个单位，将与抛物线上的点A3重合，其中m＞0，n＞0，求m，n的值； （3）抛物线上是否存在点P，使得|PB﹣PC|最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若