精品解析：上海交通大学附属中学2024届高三上学期摸底数学试题

上海交通大学附属中学2023-2024学年第一学期 高三数学摸底考试 （本试卷共10页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简、完整的结果） 1. 已知集合，，则_____________. 2. 不等式的解集为______． 3. 已知点，，则在方向上的数量投影为_____________. 4. 已知，若实数a、b满足，则_____________. 5. 如图，，，，，在三角形挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N）.则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为_____________. 6. 设x、y均为正数，且，则的最小值为_____________. 7. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中s（单位：厘米）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：秒）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为_____________cm/s. 8. 将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，若A、B、C均互不相邻，则不同的排法有_____________种.（用数字作答） 9. 已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是_____________. 10. 已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是_____________. 11. 已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为___________. 12. 函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为__________. 二、选择题.（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 如果方程所对应曲线与函数对的图像完全重合，那么对于函数有如下两个结论：①函数的值域为；②函数有且只有一个零点.对这两个结论，以下判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤） 17 已知. （1）无穷等比数列首项，公比.求的值. （2）无穷等差数列的首项，公差.求的通项公式和它的前10项和. 18. 已知三角形中，三个内角的对应边分别为，且. （1）若，求； （2）设点是边的中点，若，求三角形的面积. 19. 如图，三棱锥底面的侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 20. 如图，椭圆、双曲线中都是坐标原点O，焦点都在x轴上，且具有相同的顶点、，的焦点为、，的焦点为、，点、、O、、恰为线段的六等分点，我们把与合成为曲线，已知的长轴长为4. （1）求曲线与的方程； （2）若M是上的一动点，为定点，求的最小值； （3）若直线l过点O，与交于、两点，与交于、两点，点、位于同一象限，且直线，求直线l的斜率. 21. 记，分别为函数，导函数.若存在实数，满足且，则称为函数与的一个“S点”. （1）证明：函数与不存在“S点”； （2）若存在实数b，使得函数与存在“S点”，求实数a的取值范围； （3）已知函数，.对任意常数，判断是否存在常数，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海交通大学附属中学2023-2024学年第一学期 高三数学摸底考试 （本试卷共10页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简、完整的结果） 1. 已知集合，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据描述法的集合表示可知，再由交集运算可得结果. 【详解】根据题意可知, 所以. 故答案为： 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】分，，讨论去绝对值解不等式即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得 当时，，解得， 综合得不等式的解集为 故答案为：. 3. 已知点，，则在方向上的数量投影