3.1.1 函数的概念（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

3.1.1函数的概念 第三章 函数的概念与性质 复习导入 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如正方形的周长与边长的关系是，而且对于每一个确定的都有唯一的与之对应，所以是的函数.这个函数与正比例函数相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断与是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念. 探索新知 先分析以下情境. 情境1：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程(单位：)与运行时间(单位：)的关系可以表示为. 这里，和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是的函数. 探索新知 思考1：有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到后，运行就前进了”你认为这个说法正确吗？ 根据问题1的条件，我们不能判断列车以运行半小时后的情况，所以上述说法不正确.显然，其原因是没有关注到的变化范围. 下面用更精确的语言表示问题1中与的对应关系. 列车前进的路程与运行时间的对应关系是. 其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集.对于数集中的任一时刻，按照对应关系①，在数集中都有唯一确定的路程和它对应. 探索新知 情境2：某电气维修公司要求工人每周工作至少天，至多不超过天.如果公司确定的工资标准是每人每天元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资(单位：元)是他工作天数的函数吗？ 其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集.对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资与它对应. 显然，工资是一周工作天数的函数，其对应关系是.② 探索新知 思考2：情境1和情境2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ ，. ，. 两个函数具有相同的对应关系(解析式)，但两个函数中的变量范围不一样，所以它们不是同一个函数. 探索新知 情境3：下图是北京市2016年11月23日的空间质量指数()变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量指数的值？你认为这里的是的函数吗？ 在这个情境中，两个变量的对应关系由图象的形式给出，每一个横坐标上的时间都对应着一个具体的空气质量指数值. 探索新知 从图中曲线可知，的变化范围是数集，的值都在数集中.对于数集中的任一时刻，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的值与之对应.因此，这里的是的函数. 探索新知 情境4：国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高. 你认为按表给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 探索新知 这里，的取值范围是数集 ；根据恩格尔系数的定义可知，的取值范围是数集.对于数集中的任意一个年份，根据表所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应.所以，是的函数. 探索新知 归纳：上述情境1——情境4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 上述问题的共同特征有： (1)都包含两个非空数集，用，来表示； (2)都有一个对应关系； (3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应. 探索新知 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系. 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域，函数值的集合叫做函数的值域. 探索新知 显然，值域是集合的子集.在情境1与情境2中，值域就是和；在情境3中，值域是数集的真子集；在情境4中，值域 是数集的真子集. 情境1：. 情境2：. 情境3： 情境4：. 探索新知 我们把函数的定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. 定义域 值域 思考3：请同学们思考我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域. 例1.函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例