第6练 空间向量与立体几何单元检测能力卷【四维精练】2023-2024学年高二数学同步教学分层精练（人教A版2019选择性必修第一册）

第6练 空间向量与立体几何单元检测能力卷 一、单选题 1．（2023秋·高二课时练习）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 2．（2023春·天津·高一天津市第四十七中学校联考期末）如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论： ①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形； ②直线平面； ③在棱BC上存在一点E，使得平面平面； ④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为． 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023·全国·高二专题练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·江苏扬州·高二校考阶段练习）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（    ）个． ①若E为的中点，则直线平面 ②三棱锥的体积为定值 ③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为 ④过点，C，E的截面的面积的范围是 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023秋·湖北荆州·高二校考开学考试）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（2023·全国·高二专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为 C．的最小值为 D．当平面CEP时， 10．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 11．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，分别为的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．二面角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍 12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（    ） A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直 B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等 C．过点M有且仅有一条直线与，都相交 D．有且仅有一个点M满足平面平面 三、填空题 13．（2023秋·全国·高二随堂练习）如图所示，在平行六面体中，，若，则 . 14．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，若二面角为，则与平面所成角的正弦值为 ． 15．（2023·全国·高三专题练习）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是 ． 16．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）如图，多面体中，面为正方形，平面，，且，，为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论： ①当为棱的中点时，平面； ②存在点，使得； ③三棱锥的体积为定值； ④三棱锥的外接球表面积为． 其中正确的结论序号为 ．（填写所有正确结论的序号） 四、解答题 17．（2023·全国·高二假期作业）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（2023·北京·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (