2.1 等式性质与不等式性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 2023年下学期高一 在现实世界和日常生活中，存在着大量相等关系和不等关系. 例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等． 现实世界的相等和不等关系 长短 轻重 高矮 大小 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h. （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应不少于2.3％. （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 0<v≤40 km/h f ≥2.5% p ≥2.3% （3）设的三条边为，则，. （4）设是线段外的任意一点，垂直于，垂足为，是线段上不同于的任意一点，则． 问题2：某杂志以每本2.5元的价格发行时，发行量为8万本．经过调查，若价格每提高0.1元，发行量就减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 解：若杂志的定价为x元，则销售总收入为(8-×0.2)x万元． 于是，不等关系 “销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为: (8-×0.2)x≥20 实际问题：不等关系 数学问题：不等式 抽 象 刻 画 研究模型 练习：用一段长为30米的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙长18米，要求菜园的面积不小于110平米，靠墙的一边长为x米。试用不等式表示其中的不等关系。 题型1：建立不等式模型解决问题 (要知道边长的范围，还得解该不等式)——需要研究不等式的性质 如果a-b是正数，那么a>b； 如果a-b等于零，那么a=b； 如果a-b是负数，那么a<b. 反过来也对. 两个实数大小关系的基本事实 要研究量与量之间的相等或不等关系，首先要解决的是两个实数之间比大小. b a a<b a b a>b （1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数； （2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数； （3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数； （4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数； 关于实数的其它基本事实 作差 变形 定符号 定大小 题型2：比较两个实数的大小 思考：从上式中你得到了两个实数之间比大小的什么方法吗？ 作差法 题型2：比较两个实数的大小 练习：比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 练习:设，比较与的大小关系. A 练习:设，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D.与有关 ①画图(对/△/开) ②配方 > > 练习:(1)已知，比较与的大小关系. (2)比较与的大小关系. < 分类讨论 题型2：比较两个实数的大小 练习：比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． ∵(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4) =(a2-2a-15)-(a2-2a-8) =-7 ∴(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4)<0 ∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4) 解： 作差 变形 定符号 定大小 核心素养 之 数学抽象 + 数学建模 数 学 抽 象 过 程 一杯糖水，加的糖越多，味道会越____？ 生活问题： a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入m(m>0)克糖，糖水更甜了，为什么？ > (a>b>0，m>0) (定性描述) (定量描述) 量化 符号化 逻辑推理 ？ 数学问题： 数学模型： 论证模型： 知识要点1 求证： > (a>b>0，m>0) 证明：∵ - = =>0 ∴ 证明：∵a>b>0，m>0 ∴ = =1+ >1 ∴ 【变式设问】还有其他方法比较吗?请写出比较过程. 知识要点1 创新意识和创新思维 赵爽弦图的不等关系 第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。 大正方形的构成： 4个全等的直角三角形 1个小正方形 不等关系 等面积法 相等关系 赵爽弦图中的不等关系