精品解析：上海市育才中学2024届高三上学期第一次调研检测数学试题

上海市育才中学高三数学第一次调研检测试题 2023.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每个空格填对每题得4分，7-12题每个空格填对每题得5分，否则一律得零分． 1. 已知集合，，且，则实数a取值范围是______________________ . 2. 若复数是纯虚数，则实数的值为_______. 3. 已知向量，且，求实数_______ 4. 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 5. 设无穷等比数列的公比，，则______． 6. 已知，则__________． 7. 设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________． 8. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_____． 9. 函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________． 10. 在数列中，，且对任意正整数m、n，都有，若存在正整数k，使得，则k＝______． 11. 若实数x、y满足，则xy的最小值为________. 12. 设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为___________. 二、选择题（每题5分，共20分） 13. 青少年视力是社会普遍关注问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 14. 设集合，，，下列说法正确的是（ ） ①对任意是的子集 ②对任意不是的子集 ③存在不是的子集 ④存在是的子集 A. ①③ B. ①④ C. ① D. ①③④ 15. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 16. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（14+14+14+16+18） 17. 已知函数（其中实数）． （1）若不等式解集为时，求实数a的值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围． 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，内角A，B，C满足. （1）求a的值； （2）求的值. 19. 治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的． （1）写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式； （2）设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由． 20. 已知点、，直线（其中），点P在直线l上． （1）若是常数列，求的最小值； （2）若是等差数列，且，求的最大值； （3）若是等比数列，且，求的取值范围． 21. 已知函数，为的导数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：在区间存在唯一零点； （3）若时，，求a取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市育才中学高三数学第一次调研检测试题 2023.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6题每个空格填对每题得4分，7-12题每个空格填对每题得5分，否则一律得零分． 1. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ . 【答案】 【解析】 【分析】由并集的定义及数轴表示可得解. 【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题. 2. 若复数是纯虚数，则实数的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】实部为0，虚部不为0即为纯虚数 【详解】复数是纯虚数 所以，解得 【点睛】本题考查了复数的基本性质，属于基础题. 3. 已知向量，且，求实数_______ 【答案】5 【解析】 【分析】 根据向量垂直的坐标表示可直接求出. 详解】∵，∴，故. 故答案为：5. 4. 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所