21.2.4一元二次方程根与系数的关系　课件　2023—2024学年人教版数学九年级上册

一元二次方程根与系数的关系 人教版 九年级上 　　前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下： 　　小明：我说小青，我有一个秘密，你想听吗？ 　　小青：什么秘密？ 　　小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？ 　　小青：哦？ 新知导入 教师出示小明和小青的一段对话． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么 说吧：她的年龄啊是方程 的两根的积，回去你把两根求出来就知道了． 小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了， 而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程 的两根的和呢． 小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄． 设计意图：创设一个情境，激发学生学习数学的兴趣． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 方程 完成下列表格，回答问题： 问题1 你发现上面表格有什么规律？ 2 3 5 6 2 -10 -5 -3 师生活动：让学生分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 用语言叙述： 两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． 猜想： 当二次项系数为1时，设方程x2+px+q=0的两 根为x1，x2 ，则 ． ， 学生发现规律并猜想．教师不发表意见，为填下一个表格作铺垫． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 方程 完成下表，回答问题： 问题2 上面发现的结论在这里成立吗？如果不成立，那你发现了什么规律？ 2 -1 1 学生发言谈自己的看法，教师做总结． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 ，x2， 那么x1+x2= ，x1x2= ． （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0． 　　用语言叙述： 　　两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数言项与二次项系数的比． 教师引导学生发现规律并用语言叙述． 设计意图：二次项系数为1和二次项系数不为1的题目，系数性质符号各有不同．让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一元二次方程根与系数关系的证明： 因为一元二次方程 的两根是： ， ． 问题3 你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？ 师生活动：学生探讨，试写推导过程，教师巡视后给出规范推导过程． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 x1x2= 由此可得 x1+x2= + = = ， = = = ． 设计意图：学生在已有公式法解一元二次方程的知识的基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将用字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式x1+x2和x1x2，得出根与系数关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程中遇到的问题．还可以让学生体会数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中的一些结论并不是高不可攀的． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　例1 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两个根 的和与积： （1） （2） ； （3） ； ． 师生活动：让学生根据根与系数的关系，独立解决上述问题．教师巡视学生的掌握情况，指导困难学生． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （3）方程化为 ． ． 解：（1） ， ． （1） （2） ； （3） ； ． （2） ， 教师引导：只要把一元二次方程化成一般式，找对a，b，c，代入韦达定理即可求解． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 在使用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： （1）不是一元二次方程一般形式的要先化成一般形式； （2）在使用　　　　　 时， 注意“－ ”号不要漏写． 教师归纳总结． 设计意图：直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，引导学生发现应用根与系数的关系解决两根和与两根积的问题不需求出复杂的两根． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例2 已知方程 的一个根是-3，求另一个根及k的值． 解得k=3． 解： 设