2.1等式性质与不等式性质 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程与不等式 2.1 等式性质与不等式性质 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 1.了解相等关系与不等关系,会用不等式(组)表示不等关系. 2.会用作差法比较两个实数或代数式值的大小. 3.掌握等式与不等式的性质 课程引入 1 学习目标 重难点 重点:不等式的基本性质,等式与不等式的共性与差异 难点:利用等式与不等式的性质,解决实际问题 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。 类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等,相等用等式表示不等用不等式表示。 课程引入 1 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系;如图,设是两个实数,他们在数轴上所对应的点分别是A,B,当点A在点B的左边时,;当点A在点B的右边时,;当点A和点B重合时,. 基本事实 2 A B B A A(B) 基本事实 如果是正数,那么; 如果等于0,那么; 如果是负数,那么 ① ② ③ 有什么用途呢? 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 当我们无法直接比较两个数或者式子大小的时候,可利用作差法:即利用两个两个数或者式子的差与0的大小关系,比较式子的大小。 基本事实 2 基本事实的应用 作差法的步骤 作差 变形 判断符号 得出结论 一般是通过因式分解、通分、配方、分母有理化等变形手段,将差变形为几个因式积的形式或配成完全平方式。 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 例题讲讲 3 解: 例1 比较和的大小. = = 2>0, 所以> 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 一个重要的不等式 4 如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的,会标灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图,图中有什么不等关系? 设图中直角三角形的两个直角边长为,那么正方形的边长就是,这样,四个直角三角形的面积之和就是,正方形的面积为,很显然正方形的面积大于三角形面积和.即 当直角三角形变为等腰直角三角形时,内部的小正方形变成了一个点,此时,有,所以综合可知, 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 例题讲讲 5 一般地,,这个不等式被称为重要不等式,当且仅当时,等号成立. 事实上,利用完全平方公式也可以得到这个不等式: 因为,,当且仅当时,等号成立.所以 因此,由两个实数大小关系的基本事实,我们得到: ,当且仅当时,等号成立. 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 等式的性质 6 对称性 如果,那么 传递性 如果,那么 加减性 如果那么 同乘性 如果那么 同除性 如果那么 不等式具有那些性质呢? 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 不等式的性质 7 对称性 如果,那么,如果,那么,即⇔ 传递性 如果,那么,即⇔ 可加性 如果那么 可乘性 如果那么,如果那么 同向可加性 如果那么 同向同正可乘性 如果那么 同正可乘方性 如果那么 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 例题讲讲 8 例2 已知,,求证 方法一:作差法 证明: 因为,所以, 又因为,所以,所以 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 例题讲讲 8 例2 已知,,求证 方法二:性质法 证明:,所以, 于是,即 ,得 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 例题讲讲 8 例3(1)已知,求的取值范围 (2)已知,,求的取值范围 (3)已知,,求的取值范围 解:(1)因为 所以 所以,-7 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 例题讲讲 8 例3(1)已知,求的取值范围 (2)已知,,求的取值范围 (3)已知,,求的取值范围 解:(2)因为 所以 所以 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 例题讲讲 8 例3(1)已知,求的取值范围 (2)已知,,求的取值范围 (3)已知,,求的取值范围 解:(3)因为,所以 ①当时, ②当时, 由①②得, 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 知识小结 9 1 2 3 4 作差法 不等式的性质 重要不等式 等式的性质 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 谢谢观看 人教A版(2019) 万物皆数-毕达哥拉斯 $$