专题11 直线的倾斜角与斜率6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题11 直线的倾斜角与斜率6种常见考法归类 1．倾斜角的相关概念 (1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. (2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (3)倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度． (4)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一点以及它的倾斜角． 2．直线的斜率 （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tanα. （2）斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率 (范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式 （1）斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. （2）公式的推导 如图①、图②，设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，当直线P1P2的方向(从P1指向P2的方向)向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两条线相交于点Q，则点Q的坐标为(x2，y1)． 当α为锐角时，如图①，α＝∠QP1P2，x1<x2，y1<y2.在Rt△P1P2Q中，tanα＝＝. 当α为钝角时，如图②，α＝180°－θ(设∠QP1P2＝θ)，x1>x2，y1<y2.tanα＝tan(180°－θ)＝－tanθ.在Rt△P1P2Q中，tanθ＝＝＝－，于是可得tanα＝，即k＝. 当直线P2P1的方向向上时，可以把P2点看成当直线P1P2的方向向上时的点P1，把P1看成当直线P1P2的方向向上时的点P2，把它们的坐标代入后为tanα＝＝，即k＝. 综上所述，经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 注：不是所有直线都有斜率，若直线没有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率. 注（1）直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，规定倾斜角为0°，作了这样的规定之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了． （2）当倾斜角α＝0°时，k＝0，当0°<α<90°时，k>0，并且随α的增大，k也增大，当α＝90°时，k不存在；当90°<α<180°时，k<0，并且随α的增大，k也增大． （3）过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线不一定有斜率，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 4．直线的方向向量坐标 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)． 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 5.根据定义求直线的倾斜角 关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0°角、锐角、直角和钝角四类. 6.求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 7.解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解． 8．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． (3)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － (4)由坐标求直线斜率的策略 对于用坐标表示的斜率，其大小与两点的先后顺序无关，当时，直线的倾斜角α＝90°，没有斜率，这常常是分类讨论的依据，斜率公式是“数”与“形”结合的纽带． 　 9.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直