精品解析：天津市南开中学2024届高三上学期统练2数学试题

南开中学2024届高三统练2数学学科 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 当时，，则a的取值范围是 A. (0，) B. (，1) C. (1，) D. (，2) 6. 对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求．其关键是利用对应关系．观察下表： 13 14 15 27 28 29 8192 16384 32768 134217728 268435456 536870912 已知是光在真空中的速度，31536000是一年的总秒数（假设一年365天），根据表中数据，计算，则一定落在区间（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. ，当时， B. 为奇函数 C. ， D. 为偶函数 11. 在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系 A. B. C. D. 12. 若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 13. i是虚数单位，则复数______. 14. 展开式中第三项系数________（用具体数字作答）． 15. 函数单调递减区间是______. 16. 已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________. 17. 已知函数，，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______. 18. 已知函数. 设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是___. 三、解答题（共60分） 19. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面所成角正弦值； （3）求点到PD的距离. 20. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 21. 已知函数． （1）当时，求的极值． （2）讨论的单调性； （3）若，证明：． 22. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南开中学2024届高三统练2数学学科 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再根据集合并集的定义求解即可. 【详解】因为，， 使用. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性与奇偶性，得到，得出，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得， 令，显然函数为偶函数，且在上单调递增， 所以，即， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案． 【详解】，的定义域均为，且,， 所以为奇函数，为偶函数. 由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB. 当时，，排除C. 故选:D． 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数和对数函数的单调性可