【成才之路】2015版高中数学（人教版B版·必修5）配套课件+配套练习：32　均值不等式（6份）

第三章　3.2　第3课时 一、选择题 1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．≥1＋　 B．≤ C．≥1≥2 D． [答案]　B [解析]　取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B． 具体比较如下：∵0<x＋y≤4∴≥1.＋，∴≥，∵＝≥＝＋∴D不对；≥≤2，∴C不对；又0＜xy≤4，∴，∴故A不对；∵4≥x＋y≥2≥ 2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　) A．100　 B．50 C．20 D．10 [答案]　B [解析]　由m2＋n2≥2mn得，mn≤时成立，故选B．＝50，等号在m＝n＝5 3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．≤1＋　 B．> C．≤≥2 D． [答案]　D [解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴＝2，≤ ∴ab≤4，∴，≥ ∴≥1，故A、B、C均错，选D． ＝＝＋ [点评]　对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴.≤ 4．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为(　　) A．18　 B．12 C．2 D． [答案]　A [解析]　∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y ≥2＝18， ＝2＝2 等号在3x＝32y即x＝2y时成立． ∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18. 5．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为(　　) A．7　 B．3 C．1＋2 D．5 [答案]　A [解析]　由已知得x＋3y＝2， 3x>0,27y>0， ∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7， 当且仅当3x＝27y， 即x＝1，y＝时等号成立． 6．(2013·福建文，7)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　) A．[0,2]　 B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] [答案]　D [解析]　∵2x＋2y≥2≤1，，∴2 ∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D． 二、填空题 7．已知x、y∈R＋，且满足＝1，则xy的最大值为________． ＋ [答案]　3 [解析]　∵x>0，y>0且1＝，≥2＋ ∴xy≤3，当且仅当，y＝2时取等号．，即x＝＝ 8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________ [答案]　(a－b)2 [解析]　从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式)2更简捷． ≥( ∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[.]2＝ 当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立． ∴当x＝.，ymin＝ 三、解答题 9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值． ＋ [解析]　x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·() ＋ ＝a＋b＋)2，＋＝(≥a＋b＋2＋ 等号在时成立． ＝即＝ ∴x＋y的最小值为()2＝18，＋ 又a＋b＝10，∴ab＝16. ∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. 一、选择题 1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为(　　) A．6　 B．7 C．8 D．9 [答案]　D [解析]　∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴ab≤时成立． ，等号在a＝b＝ ∴·＝ ＝＝· ＝＋1＝9，故选D．＋1≥＝ 2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则的最小值为(　　) ＋ A．　 B． C．2 D．4 [答案]　D [解析]　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1， ∴＋(a＋b)＝1＋1＋＝＋ ≥2＋2时成立)． ＝4　(等号在a＝b＝ 故所求最小值为4，选D． 3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] [答案]　D [解析]　∵x>1， ∴x＋≥a恒成立，则须使a≤3.＋1＝3(当x＝2时等号成立)．要使x＋＋1≥2＝x－1＋ 4．已知正数x、y满足＝1，则xy有(　　) ＋ A．最小值　 B．最大值16 C．最小值16 D．最大值 [答案]　C [解析]　∵x>0，＝1，＋，又∵＝4≥2＋>0，∴ ∴4≤1， ∴， ≤ ∴xy≥16，故选C． 二、填空题 5．一批救灾物资随17列火车以vkm/h的速度匀速直达400km以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于()2km，则这批物