5.5 三角恒等变换-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

5.5三角恒等变换 课时12　两角差的余弦公式  教学目标 1. 能运用圆的旋转对称性和任意角的三角函数的定义探索、猜想、发现并推导出两角差的余弦公式. 2. 在初步认识和理解两角差的余弦公式的结构特征及其主要功能的基础之上熟记两角差的余弦公式. 3. 能够熟练地运用两角差的余弦公式求解有关三角函数中的知角求值、知值求值和知值求角等问题. 学习目标 课程目标 学科核心素养 能够运用圆的旋转对称性和任意角的三角函数的定义,发现和证明两角差的余弦公式 通过探索、猜想、发现和推导两角差的余弦公式,培养直观想象、数学抽象等素养 理解两角差的余弦公式的结构特征及主要功能,熟记两角差的余弦公式 在理解和熟记两角差的余弦公式的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养 学会运用两角差的余弦公式求解三角函数中有关知角求值、知值求值和知值求角等问题 在运用两角差的余弦公式求解有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养 情景导学 在数学里,有一种证明方法叫做无字证明,它一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题. 我国数学家赵爽在注《周髀算经》时用以证明勾股定理的“弦图”,以及古希腊信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯学派所研究的“形数”等,都是“无字证明”的典范. 　图1 一个优美的无字证明不仅包含了构造者的奇思妙想,还蕴涵着数学的本质,体现了数学的美学意义,能够达到“无声胜有声”的目的. 如图1,是一张著名的有关三角函数的无字证明图形.观察该图形,你有何发现? 【提示】 结合图形分析,根据任意角的三角函数的定义,可以建立起两个角的和与差的三角函数与的三角函数之间的关系,从而得到两角和与差的三角函数公式. 设计意图　利用数学史上优美的无字证明问题创设问题情境,充分发挥几何图形的直观形象功能,引导学生探索和发现两角差的余弦公式,引发好奇心和求知欲,激发学习兴趣,为新课的探究学习做好铺垫、奠定基础. 初探新知 任务1　探究、发现和推导两角差的余弦公式  活动1　两角差的余弦公式的探究发现  问题1　我们在初中时就知,你能求出的值吗? 【提示】 由于,所,只要知道与，，，之间的关系,将用，，，表示出来,就能求出的值. 问题2成立吗?如果不成立?应该等于什么呢? 【提示】不成立等于什么,是值得探究的问题.用计算器尝试,可. 问题3　一般地,设α,β为任意角,试猜想与,,,,之间的关系? 【提示】 由上面的计算结果,猜想:. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,在动手操作、自主探索、大胆猜想、验证结果并不断改进的过程中,寻找和发现两角差的余弦公式,体会由特殊到一般地数学研究方法,感悟数学实验、数据分析,数学建模的重要性,发展数据分析和数学抽象等素养. 活动2　两角差的余弦公式的推导证明与分析  问题4　从图1中,你能否得到的表达式? 【提示】观察图2,可. 图2 问题5　上述表达式是否对任意角都成立?你能用圆的旋转对称性进行证明吗? 【提示】 如图3,设单位圆与x轴的正半轴相交于点,以轴非负半轴为始边作角(不妨令,它们的终边分别与单位圆相交于点,,.连接,.若把扇形绕着点O旋转角,则点A,P分别与点,重合.根据圆的旋转对称性可知,与重合,从而=,所以.由两点间的距离公式,,化简.当时,容易验证上式仍然成立,所以,对于任意.此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作. 图3 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,借助问题情境中“无字证明”,得到两角差的余弦公式,启发学生利用圆的旋转对称性对其进行证明,帮助理清两角差的余弦公式的探索发现与推导证明的思路,使学生对两角差的余弦公式形成初步的认识和理解,发展数学抽象和逻辑推理等素养. 【注意事项】 在教学中可以从以下两个方面引导学生理解利用圆的旋转对称性证明两角差的余弦公式过程的一般性:其一,改变角α与β终边的位置,让学生看到各点的坐标不会因此改变;其二,根据圆的旋转对称性,无论角终边的位置如何,总有成立.证明前要补充平面内两点间的距离公式. 任务2　理解两角差的余弦公式  活动3　分析两角差的余弦公式的特征,深化对两角差的余弦公式的认识和理解  问题6　公式称为两角差的余弦公式,记作.该公式有什么特点?如何记忆? 【提示】公式的结构特征: 公式中的都是任意角,即可以是一个角,也可以是几个角组合. 公式巧记为两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和,即余·余+正·正. 问题7　大家最初质疑“?”,现在能解决这一问题吗? 【提示】 由两角差的余弦公式,得:. 问题8　给出下面的三角函数式:,你能对其化简吗? 【提示】 逆用两角差的余弦公式,得: . 问题9　你能利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式吗? (1) ;(2). 【提示】 由两角差的