4.3 对数-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

4.3对数 课时6　对数的概念  教学目标 1. 通过实例了解引入对数的必要性,理解对数的概念,明晰对数和指数的关系. 2. 掌握指数式与对数式的互化方法,能根据对数式与指数式的关系求对数的值. 3. 学会运用指数式和对数式的关系,解决与解方程、求值等有关的综合性问题. 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解引入对数的必要性,理解对数的概念,明晰对数和指数的关系 在通过实例了解引入对数的必要性和理解对数的概念的过程中,培养数学抽象素养 掌握指数式与对数式的互化方法,能根据对数式与指数式的关系求对数式的值 在运用指数式与对数式的互化方法求对数式的值的过程中,培养逻辑推理素养 学会运用指数式和对数式的关系解决与解方程、求值等有关的综合性问题 在运用指数式和对数式的关系解决有关的综合性问题的过程中,培养数学运算素养 情景导学 生物死亡后,它体内原有的碳14含量,每经过大约6 000年会衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.研究人员常常根据生物体内碳14的含量来推断生物的年代,碳14的含量P与半衰次数之间的关系为.但是,当生物体内的碳14含量低于原含量千分之一时,一般的放射性探测器就测不到碳14了.众所周知,恐龙生活在距今1~2亿年前的地球上,那么用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗? 【提示】 不能.设恐龙体内原有的碳14含量为,需要经过个“半衰期”就不会被测到碳14,则可得,由此可求出的最小值约为10,而年.故不能.这里,,怎样求呢?学习了对数,问题就迎刃而解了. 设计意图　借用考古鉴定这一实例,一方面让学生感受数学问题是客观存在的,源于实际生活的,另一方面联系学生较为熟悉的指数函数创设情境,提出问题,引出对数这一话题,为建构对数的概念做铺垫,激发学生的学习兴趣,为新课的学习营造良好的氛围. 初探新知 任务1　理解对数的概念  活动1　对数概念的引入  问题1　已知,那么的值存在吗?如果存在,符合条件的x的值有几个?能估计出x的大致范围吗? 【提示】 联系指数函数图象,可知中的指数x是存在的,并且只有一个,且x的大致范围是. 问题2　问题1中,的精确值如何用数学符号表示? 【提示】 类比在学习求方程的根时,为了表示底数,引入了数学符号:,表示3次方为2的数,这里,我们引入对数符号来表示指数,将记作. 问题3　对于等式(,且),如何表示这里的x? 【提示】 由于x被底数和幂唯一确定,则求x和指数运算有关,由此引入对数符号.注意书写格式、读法、字母名称的变化等,明确指数式与对数式的等价关系. 设计意图　从具体问题入手,引导学生思考指数x的存在性、唯一性和大致范围,明确为了表示指数,引入了对数符号.在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程,体会由特殊到一般的思想,培养抽象与概括能力,发展数学抽象素养. 活动2　认识和理解对数的概念  问题4　对数的真数可以取哪些值?能为零吗?可以为负数吗? 【提示】 根据对数的定义,由,可得(,且),显然,即对数的真数大于0,这表明0和负数没有对数. 问题5　试说出下列各对数的值(,): (1)　　　　;(2) 　　　　;(3) 　　　　;  (4)　　　　;(5) 　　　　;(6) 　　　　.  你从上述结果中能得出怎样的结论? 【提示】 根据对数的定义可得(1)(2)(3)的结果均为0,(4)(5)(6)的结果均为1,由此可以抽象得出如下一般性结论:(,),. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,能够对对数的概念及其表示方法形成正确的认识和理解,明确0和负数没有对数即对数的真数必须大于0这一重要结论,培养抽象和概括的能力,发展数学抽象和逻辑推理等素养. 任务2　探究指数式与对数式的互化方法  活动3　指数式与对数式的互化  问题6　对比和,你发现了什么? 【提示】 在指数式中,2是底数,是指数,3是幂;在对数式中,2是底数,3是真数,是对数. 问题7　能否将指数式与对数式的互化写成一般形式? 【提示】 能,指数式化成对数式为,其中,. 问题8　求下列各式的值. (1) ;(2) ;(3);(4) . 【提示】 (1) 3　(2) 0.6　(3) 4　(4) -2 问题9　由问题8的计算结果,你发现了什么? 【提示】 发现了对数恒等式及. 问题10　什么是常用对数?什么是自然对数? 【提示】 以10为底的对数叫做常用对数,记为;以无理数为底数的对数叫做自然对数,记为. 设计意图　通过对以上问题的探索与研究,理解对数符号的含义和对数概念,明晰对数式与指数式之间的关系,了解对数基本恒等式和两个特殊对数——常用对数和自然对数学,为进一步学习和应用对数奠定基础,发展逻辑推理与数学运算等素养. 知识梳理 1. 对数的概念:一般地,如果,那么数x叫做以为底的对数,记作,其中