第二章 小结与复习-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

第二章小结与复习 一、知识结构·体系构建 二、主题归纳·综合提升 主题1　含参数的一元二次不等式解法及分类讨论思想的应用  例1 [教材改编题]解关于x的一元二次不等式. 【思路点拨】这是一个含有参数的一元二次不等式,由于参数的取值与对应的一元二次方程是否有解相关,因而参数情况会对不等式的解集产生影响,故需要根据对应的一元二次方程的判别式的值的情况分类讨论. 「解」 对方程的根的情况进行分类讨论.因为方程的.当时,,方程有两个不等的实数根和,所以不等式的解集为;当时,,方程有两个相等的实数根,所以不等式的解集为;当时,,方程没有实数根,所以不等式的解集为.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为. 变式训练1 解关于x的不等式. 「解」 可以先对不等式左侧进行因式分解,并对两根大小进行讨论.原不等式可化为. ① 当,即时,不等式的解集为.② 当,即时,不等式解集为.③ 当,即时,不等式解集为,或.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为,或. 【点评总结】 对含有参数的不等式求解时,若参数影响结论,则需要对参数的取值进行分类讨论.首先关注二次项系数,当二次项不为零时,再根据解一元二次不等式的三步骤求解.其中求解方程根时可能会对根的判别式进行讨论;画草图时,可能会对二次项系数的正负进行讨论;写解集时可能会对两根大小进行讨论.整个过程应条理清晰、规范合理,由此提升逻辑推理、数学运算等素养. 例2 [2022·上海市奉贤区高三期中改编题]解关于x的不等式. 【思路点拨】解答本题的关键在于观察x2的系数和判别式与0的关系.首先分类讨论和的情况,当时,求出原不等式的解集;其次,当时,观察判别式,分类讨论,,的情况,解出不等式的解集. 「解」 ① 当时,原不等式化为,不等式的解集为.② 当时,.当时,原不等式等价于,不等式的解集为;当时,且,不等式的解集为R;当时,则且,故不等式的解集为.③ 当时,则且,故不等式的解集为.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为R. 变式训练2 解关于x的不等式. 「解」 当时,不等式的解集为.当时,此时恒成立,不等式对应方程的两根为,不等式的解集为.当时,若,即时,不等式的解集为R;若,即时,不等式的解集为;若,即时,不等式对应方程的两根为,所以不等式的解集为.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为R. 【点评总结】 含有参数的一元二次不等式的求解实质就是在掌握一元二次不等式解法的前提下对参数进行讨论,做到不重不漏. 设计意图　通过对含参的一元二次不等式的求解方法的分析和训练,渗透分类讨论和等价转化等数学思想方法,培养思维的严谨性,提升逻辑推理和数学运算素养. 主题2　不等式恒成立求参数范围问题的解法及数形结合思想的应用  例3 已知集合,若,则实数a的取值范围是　　　　.  【思路点拨】由,即可得到关于x的不等式对任意实数x恒成立. 可从数或形两个角度求解. 例3答图 「解」 由,即可得到关于x的不等式对任意实数x恒成立,令.若,则恒成立,满足题意.若,则对任意的实数x,恒成立,可转化为对应二次函数的图象恒在x轴下方,或与x轴有一个交点,即对应方程无实数根或有两个相等的实数根,所以解得.综上所述,实数a的取值范围是. 「答案」 变式训练3 已知,不等式恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  「解」 方法1:令,结合一元二次函数图象,当时,不等式恒成立可得到不等式对应方程的,即当x的值为-1或1时,y的值均小于0. 变式训练3答图 即有解得,所以实数a的取值范围为.方法2:将原不等式展开,并重新整理得到不等式对任意恒成立.因为,所以不等式可转化为,即对任意恒成立,当时,,所以实数a的取值范围为. 「答案」 【点评总结】 或者在R上恒成立,等价于对应一元二次函数图象恒在x轴上方或者恒在x轴下方,亦等价于或 变式训练3可以转化为根的分布问题,也可以转化为相应的二次函数在时的图象恒在x轴下方. 当然,对于不等式恒成立问题,也可以通过分离参数将问题转化为求代数式的最值来解决,这对于提升直观想象、逻辑推理等素养有很大帮助. 例4 已知,不等式恒成立,则a的取值范围为　　　　.  【思路点拨】思路一:与变式训练3相比,例4将不等式改为大于0恒成立,结合图象看,情况变化比较多:首先对根的存在性分三类讨论,在方程存在两不等根时也需要对根的分布情况进行讨论.思路二:不等式恒成立问题常用的方法之一是“参变分离”,从而将此问题转化为求函数的最值问题. 「解」 方法1:令,结合一元二次函数图象,可分析得到不等式恒成