1.1.2空间向量的数量积运算 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 学习目标 复习引入 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为 一般化 一般化 定义为 平面向量的数量积 性质 几何 意义 运算律 A C D A1 B1 B a b 两个向量的夹角的定义: O A B 学习新知 知识要点2 角度 表示 〈a,b〉=0 〈a,b〉是锐角 〈a,b〉是直角 角度 表示 〈a,b〉是钝角 〈a,b〉=π 注:（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零. （3）点乘符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 空间两个向量的数量积性质 例1 注： 　性质②是证明两向量垂直的依据； 　性质③是求向量的长度（模）的依据. 例1 思 问题 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影． (1)类似地，在空间，向量向向量的投影有什么意义？ (2)向量向直线的投影呢？ (3)向量向平面的投影呢？ 概念生成 如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，=cos,向量称为向量量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影（图(2)). 图(1) 图(2) β 图(3) 如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角. 思 探究 空间向量的数量积运算律有哪些？与平面向量数量积运算律是否一致？ 空间向量的数量积满足如下的运算律: ()·=(·)，∈R =(交换律) ·(＋)=+·(分配律) 问题 如何证明分配律？ 议、展、评 合作探究 （1）对于三个均不为0的数，若ab=ac，则b=c. 对于向量，，,由=，你能得到=吗?如果不能，请举出反例. 请同学们以小组形式讨论一下三个问题： (2)对于三个均不为0的数，b、c ，若ab=c，则a=(或b=)． 对于向量，，若=k，能不能写成(或)的形式? (3)对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab )c =a(bc)． 对于向量，()=(）成立吗?为什么? D' C' B' D A B C A' 例题讲解 例 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： 利用数量积求夹角 例 　BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角. 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 总结提升 用向量法求异面直线夹角的方法：  用数量积求长度  总结 跟踪训练 利用空间向量数量积证明垂直关系 例 如图，是平面内的两条相交直线.如果， ，求证： . 分析：要证明就是要证明垂直于内的任意一条直线 我们能在和之间建立某种联系，并由， ， 得到，那么就能解决问题. 利用空间向量数量积证明垂直关系 例 如图，是平面内的两条相交直线.如果， ，求证： . 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线, , , 取非零向量. 因为相交，所以向量不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对,使 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 因为 所以 这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 总结提升 用向量法证明空间中垂直关系的一般步骤： (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题. 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.求证：l⊥PA. 因为l⊥OA， 所以l⊥PA. 小试牛刀 典例 如图,在直三棱柱ABC -A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1,AA1= ,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值. 利用向量的数量积求两异面直线所成角 【规范答题】 课堂小结 夹角 数量积 范围： 角度： 垂直