专题12探索勾股定理（2个知识点10种题型1个易错点2种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

专题12探索勾股定理（2个知识点10种题型1个易错点2种中考考法） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.勾股定理（重点） 知识点2.勾股定理的逆定理（重点）（难点） 【方法二】 实例探索法 题型1.求网格中三角形的周长（或边长） 题型2.有关勾股定理的证明性题目 题型3.勾股定理的逆定理的应用 题型4.勾股定理在实际生活中的应用 题型5.利用勾股定理在数轴上表示无理数 题型6.勾股定理与面积问题 题型7.利用勾股定理解决折叠问题 题型8.利用勾股定理的逆定理求线段的长度 题型9.勾股定理的逆定理在实际问题中的应用 题型10.利用勾股定理求最短路径 【方法三】差异对比法 易错点 对勾股定理的逆定理理解不透彻而致错 【方法四】 仿真实战法 考法1.勾股定理 考法2.勾股定理的逆定理 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1. 掌握勾股定理，体验勾股定理的证明，会用勾股定理解决简单的几何问题和实际问题。 2. 掌握勾股定理的逆定理，会用其逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.勾股定理（重点） 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2.勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）已知＝2，＝3，求； （2）已知，＝32，求、． 知识点2.勾股定理的逆定理（重点）（难点） 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 【例2】判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()； 【变式】已知满足． （1）求的值； （2）判断以为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由. 【方法二】实例探索法 题型1.求网格中三角形的周长（或边长） 1.（2022春•庆元县校级月考）在如图所示的方格图中，每个小方格的边长均为1，则△ABC的周长为多少？ 2．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为． (1)在图中，以为边画一个，使它的周长为无理数，且点和点均在格点上； (2)在图中，以为对角线画一个，使它的周长是整数，且点和点均在格点上． 3．（2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)在图①中画出三边长分别为的三角形 (2)①在图②中画出一个以A为顶点且面积为的等腰直角三角形； ②经过A点一共可以画出 个不同位置面积为的等腰直角三角形． 4．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形． (1)请在图甲中画一个格点三角形，使是一个等腰直角三角形，并求出的面积． (2)请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出的平分线（保留作图痕迹）． 5．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点，请按照要求画图． (1)在图1中画出1个面积为3的，顶点C在格点上； (2)在图2中画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等，点C、D都在格点上； (3)在图3中画出2个以为斜边的直角三角形，，点C、D均在各点上． 6．（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图是5×5的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1、图2中各画一个以AB为斜边的的直角三角形．（要求：所画三角形顶点都在格点上，两个三角形面积不同）． 7．（