1.4.2充要条件 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2 充要条件 复习回顾 则 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 则p 是 q 的不充分条件 q 是 p 的不必要条件 PART 1 逆命题 逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换， 就得到一个新的命题形式的命题，“若q，则 p”，称这个命题为原命题的逆命题. 问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 1、若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等. p:两个三角形全等. q:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等. 原命题：若p，则q. 真命题 逆命题：若q，则p. 真命题 PART 2 充要条件 定义：如果既有 ，又有 就记作 称p是q的充分必要条件，简称为充要条件。 p: x2-2x+1=0，q: x=1 p 是 q 的充要条件 问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 2、若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等. 原命题：若p，则q. 假命题 逆命题：若q，则p. 真命题 p:两个三角形周长相等. q:两个三角形全等. PART 3 必要不充分条件 定义：如果既有p q ，又有 称p是q的必要不充分条件。 p 是 q 的充分不必要条件 问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 3、若一元二次方程的系数满足，则这个方程有两个不相等的实数根. 原命题：若p，则q. 真命题 逆命题：若q，则p. 假命题 p:一元二次方程ax2+bx+c=0, 的系数满足ac<0 q:方程有两个不相等 的实数根. PART 4 充分不必要条件 定义：如果既有 ，又有q p 称p是q的充分不必要条件 p：四边形为菱形，q：四边形的对角线互相垂直 p 是 q 的充分不必要条件 问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 4、若A与B均不是空集，则是空集. p: A与B均不是空集. q: AB是空集. 原命题：若p，则q. 假命题 逆命题：若q，则p. 假命题 PART 5 既不充分不必要条件 定义：如果既有 p q，又有q p 称p是q的既不充分也不必要条件 p：四边形为菱形，q：四边形的对角线长度相等 p 是 q 的既不充分也不必要条件 从集合的角度理解 p：x∈A，q：x∈B 若A=B，则p是q的充要条件 练习 下列各命题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p： ，q： （4）p：是一元二次方程的一个根， q：. 练习 下列各命题中，哪些p是q的充要条件？ （4）p：是一元二次方程的一个根， q：. 知识小结 若，且， 若，， 若，， 若，， 则p是q的既不充分也不必要条件. 则p是q的必要不充分条; 则p是q的充分不必要条件； 则p是q的充要条件； 例1 充要条件的判断 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ （1）p: ab=0, q: a2+b2=0； （2）p: xy≥0, q: |x|+|y|=|x+y|; （3）p: m>0, q: 方程x2-x-m=0有实根； （4）p: |x-1|>2, q :x<-1. p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件， r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？ 练习 充要条件的判断 解：作出“⇒”图，如右图所示， 可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q. 例3 充要条件的应用 设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____． 答案： m＞2 解析：因为A＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AÜB，所以m＋1＞3，即m＞2. 练习 充要条件的应用 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 解：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方