第22章《二次函数综合—最值问题》专题训练 2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《二次函数综合—最值问题》专题训练（附答案） 1．已知二次函数y＝ax2+c的最小值为0，且其图象过点（﹣2，1）． （1）求a，c的值； （2）已知点P（0，1），O（0，0）． ①若直线与抛物线y＝ax2+c相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求的最大值； ②已知点Q是抛物线y＝ax2+c上异于其顶点的任意一点，过Q作QT垂直x轴于T，OT的中点为M，请证明QM平分∠PQT． 2．已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． 发现：点A的坐标为 　 　，求出直线BC的解析式； 拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？ 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（3，0）、．已知点C（m，﹣m﹣1），D（m，﹣2m﹣1），E（2m，﹣2m﹣1），其中点C在x轴下方，当C、D不重合时，以CD、DE为边作矩形CDEF． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在抛物线上时，求点E的坐标； （3）当矩形CDEF与抛物线在点A、B之间部分图象（包括端点）恰好有两个公共点时，直接写出m的取值范围； （4）点G为直线CF与抛物线对称轴的交点，设矩形CDEF关于点G的对称图形为矩形C'D'E'F'，当两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点，且交点中最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值． 4．已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式； ②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）如图2，设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣1，3），与y轴交于点C，经过点C的直线与抛物线交于另一点E（6，m），点M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求直线CE的解析式； （2）如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，求点P的坐标以及△PCE面积的最大值． （3）如图3，将点D右移一个单位到点N，连接AN，将（1）中抛物线沿射线NA平移得到新抛物线y′，y′经过点N，y′的顶点为点G，在新抛物线y′的对称轴上是否存在点H，使得△MGH是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图1，点E为直线AC下方抛物线上一动点，过点E作y轴的平行线交AC于点D，过点E作x轴的平行线交y轴于点F，过点D作x轴的平行线交y轴于点G，得到矩形DEFG，求矩形DEFG的周长最大值及此时点E的坐标； （3）点P是直线AC上一动点，点Q是在平面内一点，当以点A，O，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．（参考数据：1282＝16384，1602＝25600） 8．若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象经过点A，交x轴于C，D两点，且抛物线的对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MAD+∠OAB＝45°？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ​ 9．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+6与轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，∠ABC＝45°． （1）求抛物线的解析式． （2