2.1&2.2 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

直线的倾斜角与斜率、直线的方程 知识点1 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，， 如左图，当时，是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而； 如左图，当时，也是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为， 其中，而. (简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大) 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. (4)求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. (5) 利用斜率证明三点共线的方法 已知， 若 或，则有三点共线. 知识点 直线的方程 1 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线 斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线 两点式 经过两点 且 不包括垂直于轴和轴的直线 截距式 是直线在轴上的非零截距 是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或原点的直线 一般式 为系数 无限制，可表示任何 位置的直线 2 易错点 (1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. (2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数. (3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零. 【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系 【典题1】已知点且直线的倾斜角为则实数__________．[ 【典题2】直线的倾斜角的取值范围是 . 【典题3】 已知实数满足当时的取值范围是　 ． 巩固练习 1(★) 下列说法正确的是(　　) A．一条直线和轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．任何一条直线都有斜率 D．任何一条直线都有倾斜角 2 (★) 已知直线过两点且倾斜角为，则的值为 . 3 (★★) 已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为 . 4(★★) 已知，则直线的倾斜角的取值范围是 . 5(★★) 直线经过点，，则直线倾斜角的取值范围是 . 6(★★★) 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 . 【题型二】求直线方程 【典题1】根据所给条件求直线方程 直线过点，倾斜角的正弦值为； 直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为； 直线过点，. 【典题2】 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别以，为边向外作正方形与，则点的坐标为　 　，直线的一般式方程为　 　． 巩固练习 1(★) 过点且在两坐标轴上的截距之差为的直线方程是(　　) A． B． C． D．或 2(★) 已知过点的直线分别交坐标轴于两点为坐标原点，若的面积为8，则这样的直线有(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 3(★)【多选题】下列说法中，正确的有(　　) A．过点且在轴截距相等的直线方程为 B．直线在y轴上的截距为 C．直线 的倾斜角为 D．过点并且倾斜角为的直线方程为 4(★) 直线与坐标轴围成的三角形的面积为______． 5 (★★)若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条. 6(★★) 已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是 . 7(★★) 已知的三个顶点，，，求三条边所在的直线方程和边的中线所在直线的方程． 【题型三】直线方程的综合运用 【典题1】设直线：． 求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； 若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； 设直线与轴、轴的正半轴交于点，求当点为中的定点)取得最小值时直线的方程． 【典题2】如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中部分内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． 求直线的斜率的取值范围； 若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； 如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值． 巩固练习 1(★★) 过点作直线分别与轴正半轴交于两点． (1)当面积最小时，求直线的