1.3 一元二次方程的根与系数的关系 学案2023-2024学年苏科版数学九年级上册

1.3一元二次方程的根与系数的关系 【学习日标】 基本目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。 提高日标 能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识. 【重点难点】 重点：根与系数关系及运用. 难点：定理的发现及运用， 【预习导航】 想一想： 1.观察表格中的一元二次方程，它们的两根的和与两根的积跟系数有何关系？完成表格： 方程 X1 X2 x1+x2 比2 x2-2x+1=0 x2-3x-4=0 x2-5x+6=0 x2+3x+2=0 如果方程x2+px十9=0的根是x1和x2,则1十x2=xx2=一 方程 X1 X2 +2 12 2x2+x-3=0 2x2+3x-2=0 5x2+11x+6=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1和x2,那么x1十x2=一：x2=一 2.你能解释刚才的发现吗？ 【新知导学】 活动一： 一般地，对于关于x的一元二次方程a2+bx十c=0(a≠0)用求根公式求出它的两个根1、x2,由 一元二次方程a2+bx十c=0的求根公式知 b+h-4ac.b-b-4ac 2a 2a 能得出以下结果： 十2，即：两根之和等于 :x2=,即：两根之积等于 x+x=b+b-4ac -b-B-4ac 2a 2a =-b+b2-4ac -b-/b2 -4ac 2a b+b-4ac x-b-1B-4ac 2a 2a _-b+vB2-4ac)(-b-Vb-4a)_( )2-()2 Aa 4a2 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 X1+X2= ，的12 如果把方程2+bx十c=0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x2+x+C=0(a≠0)， d 则以，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x2-()x十()=0(a≠0) (设计意图：把公式的推导与规律的探索结合起来，提高了学生的参与度，吸引学生 主动参与到公式的推导中来.让学生理解公式.) 例题 例1求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x2-6x-15=0(2)5x-1=4x2(3)x2=4(5)x2-(k+1)x+2k1=0(x是未知数，k是常数) 例2已知方程5x2+c-6=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值. 例3已知方程2x2+3x-6=0的根是x1和x2,求下列式子的值： (1) 1+1 (2)x2+x22 x2 X 【课堂检测】 1.已知方程2x2-3x-4=0的两个根分别是x,和x2,则x1+x,=—’七x,一 2.已知方程x2+ax+b=0的两个根分别是2与3，则a=—,b= 3.已知方程x2-3x+c=0的一个根是2，则另一个根为」 ,及c的值为 4.以3和一2为根的一元二次方程是() Ax2+X-6=0B.x2+x+6=0C.x2-x-6=0D.x2-x+6=0 5.求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x2+6x-6=0 (2)3x2-2V3x+1=0 (3)x2+x=1 (4)5x2=6x 6.已知方程2x2-4x-5=0的两个根分别是X,和x2,求下列式子的值： (1)(x1+2)(x2+2) (2)x2-xx2+x22 【课后巩固】 基本检测 1.如果一元二次方程x2-5x-7=0的两个根为a,B.则+B的值为 2.一元二次方程X2-X-3=0的两根为X,X2,则 1.1 X1 X2 3.若，x2是方程x2-2-1=0的两根，则(：1+1)(2+1)的值为 4.已知1，x2是方程2x2-7x十4=0的两根，则(：一x2)2= 5.方程x2-(m+1)x+2m-1=0,当=时，此方程两个根互为相反数：当m=时， 两根互为倒数. 6.下列一元二次方程中，两根分别为-1+√5，-1-5的是() A、x2+2x+4=0B、x2+2x-4=0C、x2-2x+4=0D、x2-2x-4=0 7.若一元二次方程x2+a+20的两根满足：x2+x22=12,求a的值. 8.己知关于x的方程x2-(化+)x+k2+1=0,且方程两实根的积为5，求k的值. 4 拓展延伸 1.若实数a、b满足a27a*2=0和b2-72=0,则式子+9的值是」 a b 2.x、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)-x (2)x2+3x2-3x2 3.已知关于x的方程为(k-2)x2-2(k-1)+(k+1)=0,且k≤3. 求证：(1)此方程总有实数根：(2)当方程有两个实数根，且两实数根的平方和等于4时，求k的 值 日期 教师评价 家长签名