第13章 轴对称图形 -----路径最小值问题 专项练习 2023--2024学年人教版八年级数学上册

路径最小值问题 一：费用问题 二： 周长最小值问题 一：费用问题 1.如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自米水（水管需 直接到A、B村). (1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）： (2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最 节省的铺设水管的费用为多少元？ D 2.如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，己知A、B两村到江边的距离分 别为2m和7m,且A、B两村相距13千米 (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置： (2)若铺设水管的费用为每千米4500元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省 铺设水管的费用为多少元？ B· A· 河边 二：周长最小值问题 3.如图1，在Rt△4BC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,AC=8.点P为AC边上的一个 动点，过点P作PDLAB于点D,求PB+PD的最小值，请你在横线上补充其推理过程或 理由 第1页（共7页） 解：如图2，延长BC到点B,使得BC=B'C,连接PB', 因为∠ACB=90°（已知）， 所以 (垂直的定义)， 所以PB=」 (线段垂直平分线的性质)， 所以PB+PD=PB'+PD(等式性质)， 所以过点B'作B'D⊥AB于点D,交AC于点P,此时PB+PD取最小值，连接AB 在△ABC和△AB'C中， 因为∠ACB=∠ACB'=90°，AC=AC, 所以△4BC≌△AB′C(理由： 所以SABB'=S△ABC =2S△4c(全等三角形面积相等)， 因为SA4BB= XAB×BD=号×10XB'D=5B'D, 2 又因为SA4BB'=2SA4BC=2××BCXAC=2X1×6X8=48, 所以 (同一三角形面积相等)， 所以B'D=4超」 5 所以 图1 图2 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4,CD平分∠ACB,交边AB 于点D,点E是边AB的中点，点P为边CB上的一个动点. (1)AE=，∠ACD= 度： (2)当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长： (3)若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数： (4)若点M在线段CD上，连接MP、ME,直接写出MP+ME的值最小时CP的长度. 第2页（共7页） A DE B 5.如图，在△4BC中，已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连 接MB. (1)若∠ABC=65”,则∠MMA的度数是 度； (2)若AB=9cm,△MBC的周长是16cm, ①求BC的长度； ②若点P为直线N上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值. M B 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30",E为AB边的中点，以BE为边作 等边△BDE,连接AD,CD (1)求证：△4CD为等边三角形： (2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小，并求出这个最小值. B 7.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC 于点F,若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值， E M D 第3项（共7页） 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M (1)若∠B=70°，求∠BAC的大小. (2)连接MB,若AB=8cm,△MBC的周长是14cm ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P,使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB +CP的最小值，若不存在，说明理由， 9.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，EF垂直平分AC,交AC于点E,交AB 于点F,M是直线EF上的动点. (1)当MD⊥BC时. ①若ME=1,则点M到AB的距离为 ②若∠CMD=30°，CD=3,求△BCM的周长： (2)若BC=8,且△4BC的面积为4O,则△CDM的周长的最小值为 B D 10.如图，∠MON=60°，点A、B分别是射线OM、射线ON上的动点，连接AB,∠AMAB 的角平分线与∠NBA的角平分线交于点P. (1)当OA=OB时，求证：AP∥OB: (2)在点A、B运动的过程中，∠P的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠P的度 数；若改变请说明理由： (3)连接OP,C是线段OP上的动点，D是线段OA上的动点，当S△a4B=12,OB=6 第4项（共7页） 时，求AC+CD的最小值. M M A y A ◇ N B N B N (备用图) (备用图)】 I1.在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的