3.1.1 椭圆及其标准方程（含3课时）（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程 截圆锥而得到的曲线：圆、椭圆、双曲线、抛物线 3.1.1椭圆及其标准方程 开普勒第一定律： 所有行星绕太阳运转的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（椭圆定律） 知近日点/远日点与太阳的距离，如何求椭圆轨道的方程？ 第1课时 椭圆的定义及标准方程 探究1：画椭圆 问题1：移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？ 椭圆的定义: 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆. 笔尖到两定点的距离之和等于绳长. 取一条定长的细绳，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？ 新知.椭圆的定义 (1)文字语言：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫半焦距。 线段F1F2 不存在 (2)符号语言：椭圆上任一点P满足|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) B 概念辨析1：椭圆的定义 线段F1F2 椭圆 不存在 探究2：椭圆方程的推导 问题2：观察椭圆形状,你认为怎样建系才可能使椭圆的方程形式简单？ 1.建系设点. 2.找动点满足的条件. 3.翻译列式. 4.变形化简P106 两次平方 如何建立x轴和y轴（焦点的对称性、使点尽可能多地落轴上） 方程只有一个根式 ：将其独立出来 方程有两个根式：分散，使一边只有一个根式 探究3. a,b,c的几何意义 问题3：观察右图，你能从中找出表示a,c,b的线段吗？ 椭圆的特征三角形 焦点在x轴上： 探究4.焦点在y轴上的椭圆方程 问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上，则椭圆的方程是什么？ 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： x,y交换位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 标准方程 焦点坐标 轨迹 a,b,c的关系 小结：椭圆的定义及标准方程 x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上 a c b 概念辨析2：椭圆的标准方程 焦点在x轴上的椭圆 焦点在y轴上的椭圆 椭圆 圆 概念辨析2：椭圆的标准方程 若椭圆焦点位置不确定，可设为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n) 第2课时 求椭圆的方程 巩固：求椭圆的标准方程 求a,b 定型 定量 焦点位置 例题讲解：求椭圆的标准方程 (法1) 知曲线上一点和焦点 (法2) 点代入方程 a,b,c的关系 椭圆定义求2a 求a,b 定型 定量 焦点位置 (法1) 例题讲解：求椭圆的标准方程 (法2) 求a,b 定型 定量 焦点位置 未知焦点位置:巧设方程 例题讲解：求椭圆的标准方程 求a,b 定型 定量 焦点位置 (法1) (法2) 探究5：共焦点的椭圆方程 例题讲解：求椭圆的标准方程 求a,b 定型 定量 焦点位置 (法3) (法4) (法5) 本质：分母之差为c2=5 例题讲解：求轨迹方程 求a,b 将圆“压缩”可得到椭圆 将圆“拉伸”可得到椭圆 回顾：椭圆 一个定义：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 两个方程： 求方程：定型(焦点位置)→定量(求a,b)→检验(a最大或a2,b2>0) 定义求2a 代点 b2=a2－c2 例题讲解：求轨迹方程 椭圆定义 (直接法) (定义法) 例题讲解：求轨迹方程P108 课后思考与练习 课后练习答案 解:两定圆的圆心和半径分别为C1(-3,0)，r1=1；C2(3,0)，r2=9. 设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，由题意得|MC1|=1+R，|MC2|=9-R， ∴|MC1|+|MC2|=10>|C1C2|=6. ∴点M在以C1,C2为焦点的椭圆上，2a=10，2c=6，∴b2=a2－c2=25－9=16. [变式]解:设动圆圆心为P(x,y)，半径为R， 由题意得|PQ1|=R－1，|PQ2|=9－R，∴|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|. ∴点P在以Q1,Q2为焦点的椭圆上，且2a=8，2c=6，∴b2=a2－c2=7. 第3课时 焦点三角形问题 预备思考与练习 焦点三角形的面积 已知： 目标： 化简 焦点三角形的面积 定义 余弦定理 面积公式 焦点三角形的面积 定义 余弦定理 面积公式 小结：焦点三角形的周长和面积 θ 小结：焦点三角形的周长和面积 θ 升级演练 好学数学，数学好学，学好数学。 $$