3.3.2 抛物线的简单几何性质（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.2 抛物线的简单几何性质 (1)范围： (2)对称性：关于x轴对称 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点(抛物线与轴的交点)： (4)离心率： (5)p对抛物线的影响：p越大，开口越大 抛物线上的点P与焦点F的距离和点P到准线的距离d的比叫做抛物线的离心率. 1.抛物线的简单几何性质 抛物线的焦点弦 的性质及运用 抛物线的弦长 抛物线中互相垂直的焦点弦 [应用]抛物线的焦点弦长 [应用]抛物线的焦点弦长 探究2：抛物线的焦半径 上－下+ 小结1：抛物线焦点弦的性质 与韦达定理or弦中点坐标有关 x O y F 抛物线x2＝－8y的通径为8 相似，定义，平行线等分线段成比例 小结2：抛物线焦半径的性质 (焦半径比例与倾斜角有关) (涉及焦半径比例时可用) (AB⊥x轴时S最小) 抛物线x2＝－8y的通径为8 相似，定义，平行线等分线段成比例 [应用]抛物线的焦半径 [应用]抛物线的焦半径 联立求xM M M1 小结：抛物线焦点弦的性质 (焦点弦中点到准线的距离) A D (2018新课标II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. (2018新课标II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 抛物线与直线 1.抛物线与直线的位置关系 2.抛物线中的定值定点问题 3.抛物线中点弦问题(点差法) 4.抛物线中的对称问题 1.抛物线与直线的位置关系 (1)只有1个公共点： (2)有2个公共点： (3)无公共点： 先考虑二次项系数是否为0，再考虑△ 小结1：抛物线与直线的位置关系的判定(代数法) 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0， 联立直线与抛物线方程，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0． ①若m≠0， 当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点(相交)； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点(相切)； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点(相离)． ②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合． [应用1]抛物线与直线的位置关系 析：若l的斜率存在，则设l：y=kx+1. [练习2]求抛物线 y2=4x上一点到直线l：2x+y+4=0的最短距离. 3 [例1]如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. [应用1]抛物线与直线的位置关系 关键：转化为二次函数的最值. [例1]如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. [应用1]抛物线与直线的位置关系 关键：点P到AB的距离的最值转化为二次函数的最值. A(5,0) kl=1 A(5,0)倾斜角为45度恒与OA相交 [例1]如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. [应用1]抛物线与直线的位置关系 关键：(数形结合法)点P到AB的距离的最值转化为两平行线间距离的最值. 2.抛物线与直线中的定值定点问题 2.抛物线与直线中的定值定点问题 2.抛物线与直线中的定值定点问题 0 -4p2 小结：抛物线与直线中的定值问题(用⊥时记忆结论) [应用2.1]抛物线与直线中的定值问题 (法1) (法2) [应用2.1]抛物线与直线中的定值问题 (法3) [应用2.1]抛物线与直线中的定值问题 [应用2.2]抛物线与直线中的定点问题 [例3]已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程; (2)若y1 y2=﹣12, 求证:直线l过定点. 当l的斜率不存在时, ∵y1y2=-12,∴x1=x2=3, l过定点(3,0). 综上,l过定点(3,0). ∴l的方程为y=kx－3k=k(x－3)，过定点(3,0). [应用2.2]抛物线与直线中的定点问题 3.抛物线的中点弦——点差法 [变式2]已知抛物线y2=6x, 过点A(4,1)引抛物线的一条弦PQ, 使它恰好被点A平分, 求这条弦所在的直线方程及|P