3.3.1 抛物线及其标准方程（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.1 抛物线及其标准方程 用几何画板作图： 点F是定点，l是不经过F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点M，观察点M的轨迹，说出点M满足的几何条件。 数学小实验 点M到定点F的距离和到定直线l的距离相等. 1.抛物线的定义 平面内到一个定点F和到一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点M的轨迹叫抛物线. 定义式：|MF|=d (d为M到l的距离) 注：若直线l过点F, 则点M的轨迹是过点F且与l垂直的直线。 点F叫做抛物线的焦点; 直线l叫做抛物线的准线. 焦点 准线 思考：如何建立抛物线的方程? 以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K. 两边平方,整理得 以线段FK的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系 xOy. 由抛物线定义知：|MF|=d，即 2.1推导抛物线的标准方程 l x K y o M F (x,y) d 焦点在x轴正半轴上：y2=2px(p＞0) p的几何意义： x y o l F K 2.2抛物线的标准方程 焦点F到准线l的距离. 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=8x y2=17x 认识方程左右的结构二次项 一次项 举几个例子 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 “三看”一次项： 看焦点位置 (变量+系数正负) 看对称轴(变量) 看开口方向(系数正负) 求焦点坐标(1/4系数) 求准线方程(相反数) 2.2抛物线的标准方程 p的含义：焦点F到准线l的距离. 【巩固1】抛物线的标准方程 练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 P133-2 练习2.求适合下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点为(-3,0)； （2）准线方程为y=1； （3）焦点到准线的距离为2； y²= -12x x²=﹣4y （4）抛物线过点(3,﹣4)； y²=±4x或x²=±4y 焦点为(0,-1) p=2 【巩固1】抛物线的标准方程 定形(抛物线焦点位置) 定量(参数p的值) 练习3.焦点在x轴上的抛物线上一点A(-3,m)到焦点的距离为5， 则该抛物线的标准方程为__________. 练习4.抛物线x²=2py(p>0)上一点M的横坐标为-4，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为_________________. 【巩固1】抛物线的标准方程 一抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，则抛物线的方程为________． 解：∵抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上， ∴设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)． ∵|AB|＝|2a|＝8，所以2a＝±8． 故所求抛物线的方程为y2＝±8． 【巩固1】抛物线的标准方程 【巩固2】抛物线定义的运用 “点点距”(|PF|)转化为“点线距”(坐标与) 【巩固2】抛物线定义的运用 曲线同侧转化为曲线异侧 【巩固2】抛物线定义的运用 [变式]已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2, 则d1+d2的最小值为　　　　　.  曲线同侧转化为曲线异侧 已知点N(5,2)，抛物线y2＝12x的焦点为F，M是抛物线上任意一点，则△MNF周长的最小值是________． 【巩固2】抛物线定义的运用 【巩固3】抛物线的焦点弦 【巩固3】抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l与抛物线交于P,Q两点, 且满足弦长|PQ|≥8, 求直线l的倾斜角α的取值范围． [例1] 小结：圆锥曲线的弦长 法一:求交点(联立方程组求交点坐标,用两点间的距离公式) 法二:弦长公式(适用于斜率为k的直线和曲线C相交所得弦长) 法三:抛物线的焦点弦 法四:圆的弦长 FIGHTING 【答案】8＋2 　　【解析】抛物线y2＝12x的焦点为F(3,0)，准线l的方程为x＝－3，如图，过点M作MM′⊥l，垂足为M′，则＝，所以△MNF的周长为＋＋＝＋＋2≥＋＝5－(－3)＋2＝8＋2，当且仅当M′，M，N三点共线时等号成立． $$