3.2.2 双曲线的简单几何性质（含3个微专题）（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2 双曲线 的简单几何性质 1 新知：双曲线的性质 1.范围: 2.顶点: 双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点. 线段A1A2叫实轴，长为2a，a叫实半轴长. 线段B1B2叫虚轴，长为2b，b叫虚半轴长. 思考：a,b,c的几何意义 [注]实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 新知：双曲线的性质 x y o a b 4.渐近线: 关于x轴、y轴、原点对称. 3.对称性: ①有助于画双曲线； ②与双曲线无限接近，但永不相交. ③求法(适用于任意双曲线)： 如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够身在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难道正如书上说的 无限接近不能达到 王渊超于1995年读高中时创作了这首歌曲。创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能达到”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就。课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生。 新知：双曲线的性质 5.离心率 (c>a>0) e >1 e越大，双曲线开口越大. (1)定义： (2)范围： (3)变形： (4)e的含义： 椭圆：e越大，椭圆越扁 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 方程 范围 顶点 A1(- a,0) A2(a,0) A1(0,-a) A2(0,a) 离心率 渐进线 特征量 轴：实轴 A1A2 , 虚轴 B1B2. 巩固：双曲线的性质 巩固：双曲线的性质 45°/互相垂直 2.求下列双曲线的标准方程 巩固1：由双曲线的性质求方程 联立①②解得 联立③④，无解. 巩固1：由双曲线的性质求方程 λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线. 巩固1：由双曲线的性质求方程 (x<0) 巩固2：由双曲线的定义求轨迹方程 巩固2：由双曲线的定义求轨迹方程 迁移应用：由椭圆的定义求轨迹方程 解：依题意得C1(-3,0)，半径为1；C2(3,0)，半径为9. 设动圆圆心为M(x,y)，半径为R， 由题意得|MC1|=1+R，|MC2|=9-R， ∴|MC1|+|MC2|=10>|C1C2|=6. ∴点M在以C1,C2为焦点的椭圆上， ∴2a=10，2c=6，∴b2=a2－c2=25－9=16. 微专题1.双曲线的焦半径、定义、焦点三角形 分析： 巩固3：双曲线的焦半径与定义的运用 分析： 注：认清点在双曲线的哪支写定义式 分析： 巩固3：双曲线的焦半径与定义的运用 分析： 注：认清点在双曲线的哪支写定义式 巩固3：双曲线的焦半径与定义的运用 √ √ 析：由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a， ∵|PF1|＝4|PF2|，∴4|PF2|－|PF2|＝2a， 巩固4：双曲线的焦点三角形的面积 推导：双曲线焦点三角形的面积公式 微专题2.双曲线与直线的关系 1.判定点与双曲线的位置关系 2.判定直线与双曲线的位置关系 y O 相离：无公共点 相切：1个切点 相交：2个交点 x (交于左支/右支/异支) 相交：1个交点 (与渐近线平行) O x y O x y O x y 2.判定直线与双曲线的位置关系(代数法) 例1.已知直线 y=kx-1与双曲线x2-y2=4, 试讨论实数k的取值范围, 使直线与双曲线(1)无公共点; (2)有2个公共点; (3)只有1个公共点. 考虑二次项系数A是否为0 A=0时直线与渐近线平行 A≠0时才能考虑△ 相切 相交于一点 2.判定直线与双曲线的位置关系(代数法) O x y 应用：直线与双曲线的位置关系 注：直线与双曲线的位置关系通常以渐近线的斜率为临界进行分析. 应用：直线与双曲线的位置关系 注：直线与双曲线的位置关系通常以渐近线的斜率为临界进行分析. 3.双曲线的弦长问题 3.双曲线的弦长问题 3.双曲线的弦长问题 3 结合图形分析 3.双曲线的弦长问题 3 结合图形分析 4.双曲线的中点弦问题与点差法 例4.已知双曲线3x2－y2=3，求以定点P(2,1)为中点的弦AB所在的直线方程. 4.双曲线的中点弦问题与点差法 [变式]已知双曲线3x2－y2=3, 证明：斜率为2的直线被双曲线所截得的弦的中点在一条直线上； 5.双曲线中的斜率乘积定值问题 焦点在x轴上：椭﹣双+ 焦点在y轴上：颠倒a, b 巩固：双曲线中的斜率乘积定值问题 6.与双曲线的渐近线有关的结论 (特征三角形2) 微专题3.双曲线的离心率 ①点代入曲线求e 坐标含a,b,c的点代入曲线求e (法2) (法1) 改顶点为焦点(定义) c B 对比演练 D c