第06讲 切线长定理与弦切角定理-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第06讲 切线长定理与弦切角定理 课程标准 学习目标 ①切线长的定义与切线长定理 ②三角形的内切圆与内心 ③弦切角的定义与弦切角定理 1. 掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。 2. 掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。 3. 掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。 知识点01 切线长定理 1. 切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。 2. 切线长定理： 从圆外一点作圆的切线，可以作 条，它们的长度 。圆心和这一点的连线 两 条切线的夹角。 即PA PB，∠APO ∠BPO。 推广：有切线长定理的结论可得： ①△APO △BPO∠AOP ∠BOP AB OP。 题型考点：①切线长定理的应用。 【即学即练1】 1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 ． 【即学即练2】 2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【即学即练3】 3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（　　） A．5 B．7 C．8 D．10 【即学即练4】 4．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　） A．12 B．6 C．8 D．4 知识点02 三角形的内切圆与内心 1. 内切圆的定义： 如图：与三角形各边都 的圆叫三角形的 。三角形 叫做圆的 。 2. 内心： 三角形的 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角 的交点。所以圆心到三角形三边的距离 相等 。 特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系： 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边。则这个直角三角形的内切圆半径为 。 4. 三角形的面积与内切圆半径的关系： 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： 。 考点题型：内切圆与内心的性质的应用。 【即学即练1】 5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【即学即练2】 6．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（　　） A．119° B．120° C．121° D．122° 【即学即练3】 7．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 【即学即练4】 8．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是　 　． 【即学即练5】 9．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r． 知识点03 弦切角定理 1. 弦切角的定义： 如图，像∠ACP这样顶点在 ，一边与圆 ，一边与圆 的角叫弦切角。即圆的切线与弦构成的夹角。 2. 弦切角定理： 弦切角的度数与它所夹的弧的圆周角度数 。等于它所夹弧 的圆心角度数的 。 证明提示：连接圆心与切点，过圆心作弦的切点即可证明。 题型考点：①利用弦切角定理计算。 【即学即练1】 10．如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【即学即练2】 11．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【即学即练3】 12．如图，已知