专题13 平行线分线段成比例-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题13平行线分线段成比例 【知识梳理】 知识点01平行线分线段成比例及其推论 平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 【点石成金】 (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 知识点02行线分线段成比例及其推论的应用 行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 【题型探究】 题型一平行线分线段成比例 1.如图，直线，另两条直线分别交这三条直线点A、B、C、D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（ ） A．BC：DE=1：2 B．BC：DE=2：3 C．BC·DE=8 D．BC·DE=6 【答案】D 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得，则利用比例性质可得到BC，然后计算DE•BC． 【详解】 解：∵l1∥l2∥l3， ∴，即， ∴BC， 经检验：是原方程的根，且符合题意， ∴DE•BC＝46． BC：DE=3：8 故答案选：D． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2.如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，联系起来，得出结论． 【详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：B． 【点睛】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证． 3.如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用平行线分线段成比例定理即可得到答案． 【详解】 解：∵交GA于点E， ，，，， 所以，A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键． 4.如图，在中，E，F，G依次是对角线上的四等分点，连结并延长交于点M，连结并延长交于点H．若，的长为（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】 根据AD∥BC，得到，根据四等分点和MG得到CG，可得MC=MF=4，再证明可得HF，可得MH． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴， ∵E，F，G依次是对角线BD上的四等分点，MG=1， ∴， ∴CG=3， ∴MF=MC=MG+CG=4， ∵AD∥BC， ∴， ∴HF=4， ∴MH=MF+HF=8， 故选D． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行线得到相应的比例式． 题型二三角形中的平行线段成比例 5.如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC＝EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO＝BC；⑤∠EAD＝120°．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 由等边三角形的性质可得AF＝BC，由“HL”可证△AFE≌△BCA，可得AC＝EF，即可判断①成立，由平行四边形的判定可证四边形ADFE是平行四边形，即可判断②成立，由“SSS”可证△ADF≌△CAB可判断③不成立，由平行线分线段成比例可判断④成立，由等边三角形的性质可判断⑤不成立． 【详解】 解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB＝2AF ∴AF＝BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC＝EF， 故①正确； ∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝60°，AC＝AD， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°， 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC＝EF，AC＝AD， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 故②正确； ∵四边形ADFE是平行四边形， ∴AE＝DF＝AB，AE∥DF， 又∵AF＝BC，AD＝AC， ∴△ADF≌△CAB（SSS）， ∴△ABC与△ADO不全等， 故③错误； ∵∠BAC＝30°， ∴2OF=AF， ∵AF＝BC， ∴BC＝2OF， 故④正确； ∵∠EAD＝∠BAE+∠BAC+∠CAD＝150°， 故⑤错误． 故选：B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质是解题的关键． 6.如图，已知梯形ABC