专题14 探究三角形相似的条件-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题14探究三角形相似的条件 【知识梳理】 知识点01相似三角形的概念 相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 【点石成金】 (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02相似三角形的三个判定定理 定理： 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 【点石成金】 （1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 知识点03相似三角形的常见图形及其变换： 知识点04黄金分割 1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 【点石成金】 ≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 【点石成金】 一条线段的黄金分割点有两个. 【题型探究】 题型一三角形相似 1.下列能够相似的一组三角形为( ). A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 【答案】C 【解析】 A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等； C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等. 答案选C. 【总结】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等. 2.如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F． （1）证明：△ABD∽△DCF； （2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形． 【点拨】 （1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可； （2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可． 【解析】 （1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形， ∴∠B=∠C=∠3=60°， ∴∠1+∠2=∠DFC+∠2， ∴∠1=∠DFC， ∴△ABD∽△DCF； （2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC， ∴△AEF∽△DCF， ∴△ABD∽△AEF， 故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF． 【总结】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键． 3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 【答案】 证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE． 题型二A字型相似 4．如图，在中，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】 解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形对应边成比例 且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D、两三角形中，有 但夹角不一定相等，故不能判定两三角形相似，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 5．如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案. 【详解】 解：A、，，则可判断，不符合题意； B、，，则可判断，不符合题意； C、 ，若成立，则，由题可知DE与BC不平行，符合题意； D、 ，，则可判断