24.1.4 圆周角定理学案2023-2024学年人教版九年级数学上册

24.1.4 圆周角定理学案 考点归纳 考点一：圆周角（对应例1） 圆周角 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角. 圆周角定理 文字语言 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 符号语言 图示 圆周角定理的推论 文字语言 ①同弧或等弧所对的圆周角相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 符号语言 图示 拓展: ①运用圆周角定理的推论作辅助线的方法：见直径作直角；有直角作直径。（转化为直角三角形的问题） ②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 注意： “同弧或等弧所对的圆周角相等.”改成“同弦或等弦”结论就不一定。如图，弦AB所对的圆周角有，其中互补， 所以“在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补”。 圆周角推断过程 （1） 如图1所示，圆心O在∠CAB的一边。 （2） 如图2所示，圆心O在∠CAB的内部。 ∴ （3） 如图3所示，圆心O在∠CAB的外部。 ∴ 考点二：圆内接多边形（对应例2） 1.圆内接多边形：所有顶点都在圆上的多边形， 这个圆叫多边形的外接圆.（反之） 2. 性质：圆内接四边形对角互补。 圆内接四边形任何一个外角都等于它的内对角。 拓展： 1、与圆中角有关的计算的基本图形 2、圆中转换角常见的辅助线 （1）构造直径上的圆周角 （3）补全垂径定理的半弦，封闭弓形内的等腰三角形 考点三：圆两条平行弦所夹的弧相等。 推理：因为AD∥CB，所以∠ADC=∠DCB，则 = 例1如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数． 【解答】解：∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠A＝∠BOC＝50°． 故选：A． 变式1—1如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（　　） A．132.5° B．130° C．122.5° D．115° 变式1—2如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝　 　． 例2如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝130°，则∠AOC的大小为　 　． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣130°＝50°， 由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝100°， 故答案为：100°． 变式2如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数． 随堂练习 1．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A．70° B．55° C．45° D．35° 2．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° （第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图） 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为（　　） A．80° B．100° C．110° D．130° 4．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 5．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 6．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（　　） A．30° B．50° C．70° D．80° 7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC的值为　 　． 8．如图，在5×6的网格中，圆M的圆心M点坐标为（3，2），点A、B、C的坐标分别为（3，4）、（6，0）、（3，0），连接AB交圆M于点D，连接DM并延长交圆M于点E，连接AE，则sin∠AED＝　 　． （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） 9．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠