专题02 第二章 一元二次方程（优质类型）-2023-2024学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02第二章 一元二次方程 【专题过关】 类型一、配方法的应用 【解惑】实数x和y满足，则 ． 【融会贯通】 1．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．    ②求的最小值． 解：原式                    解：原式                                 ．                        ，                            ，                                            即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______________． (2)因式分解：． (3)求的最小值． 2．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴多项式的最小值是4 (1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______； (2)求多项式的最大值． 3．（2023春·福建宁德·八年级校考阶段练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 如：用配方法分解因式： 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求M的最小值． 4．（2023春·四川达州·八年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题． 应用：代数式有 　 　值(填“最大”或“最小”)这个值是 　 　． 探究：求代数式的最小值，小明是这样做的： ∴当时，代数式有最小值，最小值为1 请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值， 拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值 5．（2023春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）[阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如:    请根据上述材料解决下列问题: (1)分解因式:； (2)利用配方法求代数式的最大值． 类型二、换元法的应用 【解惑】请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【融会贯通】 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读材料，解答问题： 为解方程，我们将视为一个整体， 解：设，则， 原方程可化为， 解得，， 当时，， 当时，， ∴原方程的解为或． (1)上面的解题方法，利用（    ）法达到了降幂的目的． (2)依据此方法解方程：． 2．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为．① 解得． 当时，，，． 当时，，，． ∴原方程的解为． 解答问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 3．（2022春·江苏连云港·七年级东海实验中学校考阶段练习）换元法是数学中一个非常重要且应用广泛的解题方法，通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解之得，即， 所以原方程组的解为，运用以上知识解决下列问题： (1)求值：________． (2)分解因式：________． (3)解方程组 4．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． (2)请利用上述这种方法解方程：． (3)应用求值：已知实数，满足，则_____． 5．（2022秋·山东济宁·九年级统考期中）阅读下列文字，然后解答问题 解方程： 解：设，则原方程可化为 解得， 当时，解得，当时，此方程无实