24.1.3 弧、弦、圆心角 学案 2023--2024学年人教版九年级数学上册

24.1.3 弧、弦、圆心角 学案 解析 变1 【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB＝50°，∠COD＝60°，则∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝40°，于是得到的度数为40°． 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°， ∴∠AOB＝180°﹣2×65°＝50°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°， ∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣50°﹣60°＝40°， ∴的度数为40°． 故答案为40． 变2 【分析】连接CD，根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质求出∠BCD，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答． 【解答】解：连接CD， ∵∠C＝90°，∠B＝22°， ∴∠A＝90°﹣22°＝68°， ∵CD＝CA， ∴∠CDA＝∠A＝68°， ∴∠ACD＝44°， ∴∠BCD＝90°﹣44°＝46°， ∴的度数是46°， 故答案为：46°． 随堂练 1. 【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，根据等边三角形的性质解答． 【解答】解：连接OC、OD， ∵＝＝， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴△AOC和△BOD都是等边三角形， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴∠P＝60°， 故答案为：60． 2. 【分析】如图，连接OC，设OB交CD于K．利用全等三角形的性质以及圆周角定理一一判断即可； 【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K． ∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA， ∴△AOB≌△COD（SSS）， ∴∠CDO＝∠OBA， ∵∠DKO＝∠BKE， ∴∠DOK＝∠BEK＝α， 即∠BOD＝α，故①正确， 不妨设，∠OAB＝90°﹣α， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠OBE+∠BEK＝90°， ∴∠BKE＝90°， ∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误， ∵CD＝AB， ∴＝， ∴＝， ∴∠ABC＝∠DOB＝α，故③正确． 故答案为①③． 3. 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°． 【解答】解：∵＝， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠BOD＝∠AOC， ∴∠AOC＝32° ∴∠COE＝32°+32°＝64°． 故选：D． 4. 【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD，如果AB＝CD，根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等，即可判定A与B正确；然后利用垂径定理与全等三角形性质，即可判定C正确．注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、∵AB＝CD，∴＝， 故本选项正确； B、∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD， 故本选项正确； C、∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD， ∴BE＝AB＝CF＝CD，∠BEO＝∠CFO＝90°， ∵OB＝OC， ∴Rt△BEO≌Rt△CFO（HL）， ∴OE＝OF， 故本选项正确； D、∠AOC不一定等于∠BOD， 故本选项错误； 故选：D． 5. 【分析】由在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，根据垂径定理的推论可得OC⊥BD，OB⊥AC，AE＝AC，DF＝BD，又由弧与弦的关系，可证得AC＝BD，即可判定AE＝DF，OE＝OF． 【解答】解：∵在⊙O中，＝＝， ∴OC⊥BD，OB⊥AC，故②正确； ∴AE＝AC，DF＝BD， ∴＝， ∴AC＝BD，OE＝OF，故④正确； ∴AE＝DF，故③正确； 没法判断OE＝BE，故①错误． 故答案为：②③④． 6. 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求解． 【解答】解：∵AB＝CD， ∴∠COD＝∠AOB， ∵∠AOB＝50°， ∴∠COD＝50°， 故答案是：50°． 7. 【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B＝∠C＝75°，再利用三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：∵⊙O中，＝，∠C＝75°， ∴∠B＝∠C＝75°， ∴∠A＝180°﹣75°×2＝30°． 8. 【分析】连接OA、OD，证明△APC≌△DPB和△AOP≌△DOP，求出∠APD的度数，根据邻补角的性质得到答案． 【解答】解：连接OA、OD， ∵AB＝CD， ∴＝， ∴＝， ∴AC＝BD， 在△APC和△DPB中， ， ∴△APC≌△DPB， ∴PA＝PD， 在△AOP和△DOP中， ， ∴△AOP≌△DOP， ∴∠APO＝∠DPO＝65°， ∴∠APD＝130°， ∴∠APC＝50°． 故答案为