专题01 空间向量及其运算八个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

专题01空间向量及其运算八个重难点归类 一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. 3．空间向量的有关概念 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量 单位向量：长度(或模)为1的向量 零向量：长度(或模)为0的向量 相等向量：方向相同且模相等的向量 二、空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ，使得 推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使（其中）. 2.共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使； 或对空间任意一点O，有. 3.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底； （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作为基向量. 4.空间向量的运算 设， 则，，， ，， ，. 【重难点一 空间向量的有关概念】 例1．（多选）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 例2．给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，则或； ③对于任何向量，，必有． 其中正确命题的序号为_____． 1.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同. 2.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决. 3.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量都共线,这一点说明了共线向量不具备传递性. 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中，，，则 练习2．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若空间向量，满足，则 B．空间任意两个单位向量必相等 C．在正方体中，必有 D．向量的模为 练习3．（多选）下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．若，则 C．若，满足，且，同向，则 D．对于任意向量，，必有 练习4．（多选题）下列说法中，正确的是（　　） A．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，＝ B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若＝－，则，互为相反向量 D．若，互为相反向量，则＝－ 【重难点二 空间向量的线性运算】 例3．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 例4．（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面: （1）熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.（2）要注意数形结合思想的运用 【跟踪练习】 练习1．平行六面体中，化简（      ） A． B． C． D． 练习2．如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 练习3．如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 练习4．在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 【重难点三 共面向量定理】 例5．（多选）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 例6．已知，若向量共面，则（    ） A．2 B． C．3 D．6 利用向量方法证明四点共面的基本途径 ： 对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 【跟踪练习】 练习1．已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则