2.6应用一元二次方程（讲+练，八大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（北师大版）

2.6 应用一元二次方程 学习目标：1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题. 2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程. 3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤. 重点：能够利用一元二次方程解决有关实际问题． 难点：能够利用一元二次方程解决有关实际问题． 知识点一 建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤 1. 步骤： ①审：审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； ②设：设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； ③列：根据题中的等量关系列方程； ④解：求出所列方程的解； ⑤验：“检验”，即验证是否符合题意； ⑥答：回答题目中要解决的问题. 2. 注意事项： (1) 在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个用字母 x 表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个量用含 x 的代数式表示出来 . (2)设未知数时必须写清单位、用对单位 . 列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位 . (3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义. 列方程，这是解应用题最关键的一步，一般先找出能够表达全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就能得到含未知数的等式，即方程 . 即学即练（2021秋·九年级课前预习）列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3） ； （4） ； （5）检验根的合理性； （6）作答． 题型一 图形问题 例1 （2023秋·云南昆明·九年级云南省昆明市第十中学校考开学考试）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 举一反三 1-1.（2023秋·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考开学考试）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为 m ． 1-2.（2023秋·九年级课时练习）一条长为的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于，则这两个正方形的边长分别为 ． 1-3.（2023秋·陕西西安·九年级校联考开学考试）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长36米．    (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为180平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？ 题型二 变化率问题 例2（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为亿元，第三周的营业收入为2亿元，若平均每周的增长率记为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 举一反三 2-1.（2023秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）某种音乐播放器原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，设平均每次降价的百分比为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2-2.（2023秋·九年级课时练习）为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x，已知这种药品原来每盒的价格是60元，则第一次降价后每盒的价格是 元，第二次降价后每盒的价格是 元．若经过两次降价后这种药品每盒的价格是48.6元，则可列出方程： ． 2-3．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 变化率问题中若基数不明确，通常可设为“1”,或设为a等，设为“1”更常用. 下降率不能超过1. 增长率不可为负，但可以超过1. 题型三 营销问题 例3（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的