2.5一元二次方程根与系数的关系（讲+练，五大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（北师大版）

2.5一元二次方程根与系数的关系 学习目标：1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题． 3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. 4.会用发现、完成归纳验证以及演绎证明等的数学思维探索一元二次方程的根与系数的关系. 重点：一元二次方程根与系数的关系及其推导过程. 难点：一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用. 知识点一 韦达定理 定义 如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, (b2-4ac≥0) 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 【注意】 1.满足上述关系的前提条件:b2-4ac≥0. 2.转化为一般形式 ， ax2+bx+c=0 (a ≠0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根. 将一元二次方程转化为一般形式，于之对应公式中的a、b、c. 即学即练 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值得为___________． 知识点二 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (3)x1/x2 + x2/x1 = (x1+x2)2－2x1x2/x1x2. 特别提醒： 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 即学即练1 （2023·江西吉安·统考一模）已知方程的两个解分别为，则的值为_______． 即学即练2 若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 　 　． 知识点三 二次项系数为1的一元二次方程的性质 1.以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1+x2)x+x1x2=0. 2.如果方程x2+mx+n=0 的两个实数根为x1，x2， 那么x1+x2=－m，x1x2=n. 应用性质1能求一元二次方程，应用性质2能转化记忆一元二次方程根与系数的关系. 即学即练1（2023春•涡阳县期中）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α+β的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 即学即练2（2023·山东济南·统考三模）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是______． 题型一 求根与系数关系 例1 （2023·江苏盐城·校考二模）已知、是关于x的方程的两个实数根，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 举一反三 1-1.（2023秋·湖北孝感·九年级校考开学考试）已知关于x的一元二次方程有两根为和，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 1-2.（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）下列一元二次方程中，两根之和为1的是（    ） A． B． C． D． 1-3.（2023秋·九年级课时练习）不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 利用根与系数的关系式求代数式的值 例2（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）已知方程的两根是，则的值是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 举一反三 2-1.（2023春·安徽六安·八年级校考期末）已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2021 B．2023 C．2024 D．2025 2-2.（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2-3．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根，满足，求k的值； (3)已知方程的一个根为，求代数式的值． 题型三 已知一元二次方程的两根关系求参数的取值（范围） 例3（2023秋·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考开学考试）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 举一反三 3-1.（2023春·山东泰安·八年级校考期中）关于的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别（    ） A．， B．， C．， D．， 3-2.（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-3.（2023秋·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为，且，求m的值． 题型4 已知含参数的一元二次方程的一个根，求