24.6 实数与向量相乘（讲+练，二大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪教版）

24.6 实数与向量相乘 1.掌握实数与向量相乘的运算法则 2.利用所学知识解决简单的数学问题 知识点一 实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. 2.实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意： （1） 也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （2） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. 即学即练 已知非零向量，求作，．    知识点二 实数与向量相乘满足的运算律 1.实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） 2.实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 即学即练1 计算：     ； ；      ． 即学即练2 已知、为任意向量，计算： 知识点三 平行向量定理 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 即学即练 （2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果，那么或 知识点四 单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 即学即练 （2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么 ．（用示） 题型一 向量的相关概念 例1 （2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知与单位向量的方向相反，且长度为，那么表示为 ． 举一反三1 （2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）已知非零向量、和，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B．， C． D． 举一反三2 （2022秋·上海徐汇·九年级校联考期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果与均是单位向量，那么 C．如果是单位向量，的长度为5，那么 D．如果、为非零实数，为非零向量，那么． 题型二 实数与向量相乘 例2 （2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 举一反三1 （2023·上海·一模）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，.试用、的式子表示向量. 举一反三2 （2023·上海长宁·统考一模）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 1、 单选题 1．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·一模）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·上海·一模）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知一个单位向量，设向量、是非零向量，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）如果点、分别在的边上， , ，那么等于（　　） A． B． C． D． 6．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）已知，，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2022·上海·九年级专题练习）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2021秋·上海·九年级期末）已知单位向量与非零向量、，下列四个选项中，正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 1．如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）    2．（2022秋·上海·九年级校考期中）已知的长度为2，的长度为6且与方向相反，则