24.1.2 垂直于弦的直径 学案 2022-2023学年人教版数学九年级上册

24.1.2 垂直于弦的直径 学案 考点归纳 考点一：垂径定理及其推论 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 垂径定理 文字语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 符号语言 ， 图示 垂径定理的推论 文字语言 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 符号语言 ，, 补充：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 “平分弦的直径垂直于弦”这句话是错的，因为一个圆的两条直径相互平分，但不一定互相垂直。 考点二：垂径定理及其推论的应用 在求解半径、弦长、弦心距时，我们可以连接弦的两个端点，过圆心作弦的垂线，再运用勾股定理求解。 列式：OA²=AE²+OE²（其中OA是半径、AE弦长的一半、OE弦心距） 典题精讲 例1．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】连结OA．易知在Rt△AOC中．OA＝r＝5cm，OC＝3cm，根据勾股定理可知AC＝4cm．所以AB＝2AC＝8cm． 【解答】解：连接OA， ∵OC⊥AB， ∴AB＝2AC， 在Rt△OAC中，AC＝＝＝4（cm）， ∴AB＝8cm． 故选：C． 变式1.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2.5 例2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为　10　米． 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：设所在的圆的圆心是O． 根据垂径定理，知C，O，D三点共线， 设圆的半径是r，则根据垂径定理和勾股定理，得r2＝（r﹣4）2+64， ∴r＝10． 变式2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25m，BD＝1.5m，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（　　） A．2m B．2.5m C．2.4m D．2.1m 随堂练习 1．如图，AB是⊙O的弦，点C在AB的延长线上，AB＝2BC，连接OA、OC，若∠OAC＝45°，则tan∠C的值为（　　） A．1 B． C． D．2 2．在⊙O中，弦AB的长为2cm，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（　　） A．2 B．3 C． D． 3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（　　） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 4．如图，CD是⊙O的直径且CD＝4，CD⊥AB于点E，∠A＝30°，则弦AB的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝4，则OP的长为（　　） A．1 B． C．2 D．2 （第4题图） （第5题图） （第6题图） 6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是（　　） A．4 B．5 C． D． 7．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，OC⊥AB于点C，则OC＝（　　） 第7题 第8题 第9题 第10题 A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．如图，在半径为r的⊙O中，弦AB＝8cm，OC＝3cm，OC⊥AB于点C，则r为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 9．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：MD＝5：8，则⊙O的周长为（　　） A．26π B．13π C． D． 10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　） A．6 B．3 C．6 D．12 11．如图，在⊙O中，已知弦AB长为16cm，C为的中点，OC交AB于点M，且OM：MC＝3：2，则CM长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 12．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　） A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 13．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝