1.3 正方形的性质与判定 同步练习 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定 一、选择题 1. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（       ） A． B． C． D． 2. 顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是（       ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 3. 有下列四个条件：①；②；③；④；从中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（       ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 4. 如图，点C、D、E在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是60，则由两个三角形(、)组成的阴影部分面积是（     ） A．60 B．50 C．40 D．30 5. 如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，正方形中心为O，，则（       ） A． B．3 C．4 D． 6. 如图，在四边形中，，，，于点E，则的长为（　　）     A．4 B．5 C． D． 7. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤，正确结论是（       ） A．①③④ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 8. 如图，正方形的边长为，点P，点Q同时从点A出发，速度均为，点P沿A→D→C向点C运动，点Q沿A→B→C向点C运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（       ） A． B． C． D． 9. 已知：如图，，，作正方形，面积记作；再作第二个正方形，面积记作，继续作第三个正方形，面积记作；点，，，在射线上，点，，，在射线上，依此类推，则第6个正方形的面积是（       ）     A．256 B．900 C．1024 D．4096 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，AC与EF相交于点G． 下列结论：①AC垂直平分EF；②当时，；③当时，为等边三角形：④当时，． 其中正确的结论有（       ）个     A．1 B．2 C．3 D．4 11. 如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则，其中正确结论的个数为（       ） A． B． C． D． 12. “化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（       ） A．4 B． C． D． 二、填空题 13. 正方形的对角线长为8cm，则正方形的面积为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________．     15. 如图，正方形的边长为4，点是边上一点，，将线段绕点旋转，使点落在直线上，落点记为，则的长为______． 16. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的是______．（填写序号） 三、解答题 17. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接．求证：． 18. 中，M为中点，N为的中点，且．     (1)求证：四边形是矩形； (2)若，那么四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． 19. 如图1，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接．     (1)计算的度数． (2)如图2，过点作，垂足为，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 20. 已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线、于M、N．     (1)正方形的内角和是______°，______°； (2)当M、N分别在边、上时（如图1），求证：； (3)当M、N分别在边、所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论______； (4)当M、N分别在边、所在的直线上时（如图3），线段之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程． $$