1.3 正方形的性质与判定 同步练习题 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

1.3 正方形的性质与判定 同步练习题 2023-2024学年北师大版九年级数学上册 一、选择题 1.正方形具有但菱形不具有的性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分每一组对角 D.对角线互相垂直 2.下列判断正确的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的平行四边形是正 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 3.有下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD.从中选取两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图）.现有下列四种选法，其中错误的有( ) A.②③ B.②④ C.①② D.①③ 4.若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 5.如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数是（ ） A.45° B.30° C.22.5° D.20° 6.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD=EC;②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP=EF;⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF.其中正确结论的序号有( ). A.①②④⑤⑥ B.①②④⑤ C.②④⑤ D.②④⑤⑥ 二、填空题 7.若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积是_____. 8.如图，把一张长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪切线与折痕所成的角∠1的大小为______. 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：_________，使矩形ABCD是正方形.（填一个即可） 10.边长都为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则∠ACB=_____，△ABC的面积为____. 11.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线ι，过A，C作直线ι的垂线，垂足分别为E，F.若AE=1，CF=3，则AB的长为_____. 12.如图，已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=_____. 13.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第2个正方形，再以对角线AE为边作第3个正方形…如此下去，第n个正方形的边长为_____. 三、解答题 14.如图①，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为正方形，但他随身只带了有刻度的卷尺.请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为正方形.（图②为备用图) 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由. 16.如图，小明把两个大小完全一样的正方形放置在一起，他发现正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的，请你说明其中的理由. 17.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE,BE. (1)求证：四边形AEBD是矩形. (2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由. 18.如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE,OF. (1)求证：△BCE≌△DCF. (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由. 19..如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°到△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移到△FEG，DE，FG相交于点H. (1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由； (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形. 20.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH. (1)求证：GF=GC; (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明. 21.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，在正方形ABCD中，AB=4，将三角尺放在正方形ABCD上，使三角尺的直角顶点