1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(1) 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、 平面的位置关系（1） 耿洪辉精品系列课件 《高中数学选择性必修一》 第一章 空间向量与立体几何 学习目标 1．掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系． 3．会用待定系数法求平面的法向量． 4．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系. 1.点的位置向量 空间中点、直线和平面的向量表示 P p O 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图. ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 2.空间直线的向量表示式 l a B P A l a B P A O 图① 图② 如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta,　① 或+t.　② 　3.空间平面的向量表示式 a B C A b P O 如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. 注意：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件: ①是非零向量; ②向量所在的直线与l平行或重合. 4.平面的法向量 l a α A P 6 例题 注意：平面法向量不唯一 在空间直角坐标系中,已知A(3，0,0),B(0，4，0),C(0，0，2),试求平面ABC的一个法向量. 解：设平面ABC的一个法向量为 所以 取x=4 得y= ,z = 所以平面ABC的一个法向量为 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 阶段小结 阶段检测（一） 1、在空间直角坐标系中,已知,,试求平面ABC的一个法向量. A　 令x=-1，则y=2，z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1)。 A 解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则 3.若两个向量=(1,2,3)，=(3,2,1)，则平面ABC的一个法向量为(　　) A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1) 2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) 空间中平行关系的向量表示 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 1.直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行． 2．用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 阶段小结 例题 在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. 求证：EF∥平面ABCD；  证明:　以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1).点E，F分别是PB，PD的中点，F，E.＝，＝(－1，2，0)， ＝－ ， 即EF∥BD. 又BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD， 所以EF∥平面ABCD. 阶段检测（二） 1、设 分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件，判断l1，l2的位置关系. 平行 垂直 平行 答案:平行